Une équation avec des factorielles.

$n=1$, on vérifie qu’il n’y a pas de solution. Supposons désormais l’existence d’ue. solution avec $n\ge 2$. Alors dans $\Z/n\Z$, comme $-(n-1)!=1$ tous les deux éléments non nuls de $\Z/n\Z$ possèdent un inverse et donc $n$ est premier (on peut aussi invoquer la réciproque du théorème de Wilson). Désormais notons $p:=n$ un nombre premier tel qu’il existe un couple $(p,m)$ solution du problème.

:::cas $p=2$
L’équation donne $1+1=2^{m}$ et donc l’unique solution dans ce cas est le couple $(2,1)$.
:::cas p=3
L’équation donne $2+1=3^m$ et donc l’unique couple solution est $(3,1)$

:::soit $(p,m)$ un couple solution avec $p>3$ premier. On a
$p^{m}-1=(p-1)(1+p+p^{2}+...+p^{m-1})$ d’où $(p-2)!=(1+p+....+p^{m-1})$ et donc dans $\Z/(p-1)\Z$, on a $(p-2)!=m$ (on peut réduire modulo $p-1$ car $p-1\ge 2$
Comme $p>3$, $p-1$ n’est pas un nombre premier, donc possède une factorisation non triviale $p-1=ab$, on a $a\le p-2$ et $b\le p-2$
Si $a$ est distinct de $b$ alors $p-1=ab$ divise $(p-2)!$ et donc $m=0$ modulo $p-1$ c’est-à-dire $p-1|m$.
Si $a=b$, alors si $a$ et $2a$ sont deux entiers (nécessairement distincts) inférieurs ou égaux à $p-2$ alors $p-1=a^{2}|a.2a|(p-2)!$ et donc $p-1|m$. Pour que ceci soit vrai, il suffit que $2a\le p-2$ ie en mettant au carré que $4(p-1)\le (p-2)^{2}$ soit $p\ge 7$.
Ainsi on a prouvé que si $p\ge 7$, alors $p-1|m$. En particulier $p-1\le m$ d’où $p^{p-1}\le p^m=(p-1)!+1$. Mais $(p-1)!\le (p-1)^{p-1}$. Par ailleurs par stricte monotonie $p^{p-1}>(p-1)^{p-1}$ et comme les deux termes dans cette inégalité sont entiers, on en déduit $p^{p-1}\ge (p-1)^{p-1}+1$. Par double inégalité on a alors $p^{p-1}=(p-1)^{p-1}+1$. Mais alors l’inégalité qu’on a utilisée $(p-1)!\le (p-1)^{p-1}$ était une égalité et donc $p-1=1$ ce qui est exclu. Conclusion partielle : si $p\ge 7$ est premier il n’existe pas de solution.

::: le seul cas qui reste à traiter est le cas $p=5$
L’équation donne 4!+1=5^m et donc l’unique couple solution est $(5,2)$.

::: Conclusion : les couples $(n,m)$ solutions sont $(2,1), (3,1), (5,2)$.

:::