Une équation matricielle

On va montrer par l’absurde qu’il n’existe pas de telle matrice. Supposons qu’il existe $A$ vérifiant cette relation. Alors, en passant à la transposée dans la relation on a
$$(A^{T})^{2}+A=-I_{3}\Leftrightarrow (A^{2}+I_{3})^{2}+A+I_{3}=0\Leftrightarrow A^{4}+2A^{2}+A+2I_{3}=0.$$Autrement dit, $A$ est annulée par le polynôme $P=X^{4}+2X^{2}+X+2\in\mathbb{R}[X].$ En passant à la forme canonique dans le trinôme $P-X^{4}$ on a l’expression
$$P=X^{4}+2\left(X+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}.$$Par conséquent, $\forall x\in\mathbb{R},P(x)\geq \dfrac{1}{2}>0$. Le polynôme $P$ n’a donc que des facteurs irréductibles de degré $2$ dans sa décomposition en irréductibles dans $\mathbb{R}[X].$ Ses racines ne sont donc pas réelles. Ainsi, le spectre de $A$, contenu dans l’ensemble des racines de $P$, est formé de complexes (non réels) conjugués deux à deux. On en déduit que $\chi_{A}$ est un polynôme unitaire de degré $3$ sans racine réelle ce qui contredit, au choix, le théorème des valeurs intermédiaires (car$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim} \chi_{A}(x)=+\infty$ et $\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim} \chi_{A}(x)=-\infty$) ou la décomposition en irréductibles de $\mathbb{R}[X]$(car un polynôme à coefficients réels de degré impair possède nécessairement un irréductible de degré $1$ dans sa décomposition).