Une équation pas comme les autres

La résolution de cette équation à la main pour des petites valeurs de $n$ nous permet de constater que les seuls entiers $n$ de $2$ à $20$ pour lesquels l’équation est vérifiée sont $\left\{6,8,10,14,15\right\}$. Tous sont de la forme $pq$ avec $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts à l’exception de $8$ de la forme $p^3$. On vérifie aussi que l’équation est vérifiée pour $27=3^3.$ Ceci nous invite à formuler la conjecture suivante :
$$f(n)=n\Leftrightarrow \exists p,q\text{ premiers tels que }n=pq\text{ ou }n=p^3.$$Pour le prouver on va distinguer discuter du nombre de facteurs premiers qui divisent $n.$

• Si $n$ possède plus de $3$ facteurs premiers distincts. Dans ce cas on peut écrire $n=p^\alpha q^\beta d$ avec $p,q$ premiers distincts, $\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*$ et $d>1$ non divisible par $p$ ou par $q.$ Dans ce cas $p^\alpha\times p^\alpha q=p^{2\alpha}q$ divise $f(n)$ car $p^\alpha$ et $p^\alpha q$ sont des diviseurs stricts de $n.$ Mais alors $p^{2\alpha}\mid f(n)$ alors que $p^{2\alpha}\nmid n$ par définition de $\alpha=\max\left\{k\in\mathbb{N}\mid p^k\mid n\right\}<2\alpha.$ Donc $f(n)\neq n.$
• Si $n$ possède exactement deux diviseurs premiers. On écrit alors $n=p^\alpha q^\beta$. Si $\alpha>1$ alors $p$ et $p^\alpha$ sont deux diviseurs stricts de $n$ donc $p\times p^\alpha=p^{\alpha+1}\mid f(n)$ et on conclut de la même manière que dans le cas précédent. On est donc contraint dans ce cas à avoir $\alpha=\beta=1.$ Dans ce cas la liste des diviseurs de $n$ est $\left\{1,p,q,pq\right\}$ si bien que $f(n)=1\times p\times q=n.$ Notre conjecture est donc vérifiée dans ce cas là.
• Si $n$ possède un diviseur premier. On écrit $n=p^\alpha$. Les diviseurs de $n$ sont alors $\left\{1,p,\dots,p^{\alpha-1},n\right\}$. Donc
  $$f(n)=\prod_{k=0}^{\alpha-1}p^k=p^{\sum\limits_{k=0}^{\alpha-1}k}=p^{\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}}.$$

On a alors $f(n)=n$ si et seulement si $\alpha=\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}\Leftrightarrow\alpha(\alpha-3)=0$ donc $\alpha=0$ ou $\alpha=3$. On trouve bien $\alpha=3$ si bien que $n=p^3$.

On a donc bien prouvé la conjecture énoncée au début de l’exercice.