Une équation polynomiale

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ tel que $P(X^2) = P(X)^2$

1. Si $P=c \in \mathbb{R}$
   $$c = c^2 \implies c(c - 1) = 0 \implies c \in \{0, 1\}$$
2. Si $P$ n’est pas constant, on considère $n=\deg(P)$
   On cherche le coefficient dominant de $P$:
   On note $a_n$ le coefficient dominant de $P(X)$. En comparant les coefficients dominants de deux côtés de $P(X^2) = P(X)^2$:
   $$a_n = a_n^{2} \implies a_n \in \{0, 1\}$$Comme $\deg(P)=n$, $a_{n} \neq 0$.
   Ainsi, $a_{n}=1$

Connaissant le coefficient dominant, on peut écrire, utilisant la division Euclidienne de $P(X)$ par $X^n$:
$$P(X) = X^n + R(X) \quad \text{où } \deg(R) = q < n$$En le substituant dans $P(X^2) = P(X)^2$:
$$X^{2n} + R(X^2) = \left(X^n + R(X)\right)^2 = X^{2n} + 2X^n R(X) + R(X)^2$$Soustraire $X^{2n}$ donne alors:
$$R(X^2) = 2X^n R(X) + R(X)^2$$Supposons maintenant que $R \neq 0$: Le côté gauche de l’équation à un degré de $\deg\left(R(X^2)\right) = 2q$. Sur le côté droit, $\deg\left(2X^n R(X)\right) = n + q$ et $\deg\left(R(X)^2\right) = 2q$. Comme $q < n$, on a $2q < n + q$, Donc le degré de $2X^n R(X) + R(X)^2$ est $n + q$. Il vient:
$$2q = n + q \implies q = n$$Ce qui contredit $q < n$. Ainsi, $R = 0$, ce qui implique $P(X) = X^n$.

Réciproquement, si $P=X^n$, $P(X^2)=X^{2n}=(X^{n})^{2}=(P(X))^{2}$

Conclusion: L’ensemble des solutions est:
$$\mathcal{S} = \{0\} \cup \{X^n \mid n \in \mathbb{N}\}$$