Une équation polynomiale

Analyse :
Soit $P \in \C[X]$ vérifiant $P(X^{2}) = P(X)^{2}$

On vérifie que le polynôme nul est solution puis on se place dans le cas où $P \ne 0$

Ils existent alors $n \in \N$ et $\tilde{P} \in \C[X]$ ne s’annulant pas en $0$ tels que $P = X^{n} \tilde{P}$
En injectant la nouvelle expression de $P$ dans l’équation de départ : $(X^{2})^{n} \tilde{P}(X^{2}) = (X^{n} \tilde{P}(X))^{2}$ qui se simplifie en $\tilde{P}(X^{2}) = \tilde{P}(X)^{2}$.
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En évaluant cette nouvelle égalité en $0$ : $\tilde{P}(0) = \tilde{P}(0)^{2}$ et en sachant que $\tilde{P}(0) \ne 0$ par hypothèse on a $\tilde{P}(0) = 1$.
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Supposons par l’absurde que $\tilde{P} - 1$ n’est pas le polynôme nul et que $\tilde{P}(0) = 1$, ils existent donc $p \in \N^{*}$ et $Q \in \C[X]$ ne s’annulant pas en $0$ tels que $\tilde{P}(X) - 1 = X^{p} Q(X)$
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En injectant la nouvelle expression de $\tilde{P}$ dans l’équation de $\tilde{P}$ , on a $(X^{2})^{p} Q(X^{2}) + 1 = (X^{p} Q(X) + 1)^{2}$
qui se simplifie en : $X^{2p} Q(X^2) = X^{2p}Q(X)^2 + 2X^{p}Q(X)$
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Le membre de droite contient un monome de degré $p$ qui est $2Q(0) X^{p}$ mais le membre de gauche a que des monomes de degrés au moins $2p$. Ce qui est absurde. Ainsi $\tilde P - 1 = 0$ autrement dit $\tilde P = 1$
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Ainsi $P = X^{n}$
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Synthèse :
On vérifie que le polynôme nul est bien solution de l’équation polynomiale $0 = 0^{2}$
Et que les monômes de degré $n \in \N$ sont aussi solutions, en effet $(X^{2})^{n} = (X^{n})^{2}$