Une équation résoluble par radicaux ?

Non. Dit autrement, en termes savants, le groupe de Galois de $P=X^{5}-4X+2$ sur $\mathbb{Q}$ est $\mathfrak{S}_5$, qui n’est pas résoluble.

Irréductibilité. Eisenstein en $p=2$ s’applique : $2$ divise $-4$ et $2$, ne divise pas le coefficient dominant $1$, et $4\nmid 2$. Donc $P$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$, et $5$ divise $|G|$ où $G=\mathrm{Gal}(P)$, vu comme sous-groupe transitif de $\mathfrak{S}_5$. Par Cauchy, $G$ contient un $5$-cycle.

Exactement trois racines réelles. On a $P'(x)=5x^{4}-4$, qui s’annule en $\pm c$ avec $c=(4/5)^{1/4}$. Alors
$$P(-c)=4c-c^{5}+2>0,\qquad P(c)=c^{5}-4c+2<0,$$numériquement $P(-c)\approx 5{,}0$ et $P(c)\approx -1{,}0$. La fonction $P$ croît jusqu’à $-c$, décroît de $-c$ à $c$, puis croît ; avec les limites $\mp\infty$ en $\mp\infty$, elle s’annule exactement une fois sur chacun des trois intervalles. Donc $P$ a $3$ racines réelles et $2$ racines complexes conjuguées.

Conclusion. La conjugaison complexe échange les deux racines non réelles et fixe les trois autres : $G$ contient une transposition. Or un sous-groupe de $\mathfrak{S}_5$ contenant un $5$-cycle et une transposition est $\mathfrak{S}_5$ tout entier.

Comme $\mathfrak{A}_5$ est simple non abélien, $\mathfrak{S}_5$ n’est pas résoluble. Par le théorème de Galois, $P$ n’est pas résoluble par radicaux. $\blacksquare$