une erreur exacte (3)

On définit $\zeta(4)$ par la somme $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^{4}}$

Pour $n$ entier $\geqslant 1$, on calcule $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{4}}$ et on cherche à mesurer aussi précisément que possible l’erreur d’approximation avec $\zeta(4)$.

Montrez que cette erreur vaut exactement:

$\displaystyle\zeta(4)-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{4}}=\sum_{k=3}^{+\infty}\frac{(\displaystyle\sum_{j=1}^{k-1}\frac{1}{j})^{2}-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{1}{j^{2}}}{2k^{2}}\cdot\frac{n!\cdot k!}{(n+k)!}$