Une fonction ni paire ni impaire...

On note $f : x \mapsto 1 + x^{2} + x^{3}$.

$f(1) = 1 + 1^{2} + 1^{3} = 1+1+1=3$
$f(-1) = 1 + (-1)^{2} + (-1)^{3} = 1+1-1=1$

Rappels :
$(-1)^{2} = (-1) \cdot (-1) = 1$
$(-1)^{3} = (-1)\cdot(-1)\cdot(-1) = 1 \cdot(-1)=-1$
et plus généralement $(-1)^{n}$ vaut $1$ pour $n$ pair et $-1$ pour $n$ impair.

L’assertion "$f$ n’est pas paire" peut se réécrire $\exists x \in \mathbb{R}, f(x) \neq f(-x)$.
Or avec $x=1$, on trouve $3 = f(1) \ne f(-1) = 1$. Donc $f$ n’est pas paire.

Maintenant, l’assertion "$f$ n’est pas impaire" peut se réécrire $\exists x \in \mathbb{R}, f(x) \neq -f(-x)$.

Et, en effet, avec $x = 1$, on a aussi $3 = f(1) \ne -f(-1) = -1$

Donc $f$ n’est ni paire, ni impaire.