Une fraction sous forme décimale

• On souhaite donc diviser $37$ par $16$. Si on ne s’autorise que la division euclidienne pour l’instant (c’est-à-dire, la division avec des entiers), on a :
  $$37=16\times 2+5.$$Il reste maintenant à diviser le reste, $5$, par $16$.

• Comment fait-on pour continuer avec la division de $5$ par $16$, alors que $5$ est plus petit que $16$ ?

Une possibilité est de d’abord multiplier $5$ par $10$ : il est plus facile de diviser $50$ par $16$ ! Avec la division euclidienne :
$$50=16\times 3+2$$Et en divisant par $10$, on obtient :
$$5=16\times 0{,}3 +0{,}2$$

• Il reste donc maintenant à diviser $0{,}2$ par $16$. En appliquant la même méthode, cette fois en multipliant par $100$, on fait la division euclidienne :
  $$20=16\times 1+4$$et donc en divisant par $100$ :
  $$0{,}2=16\times 0{,}01+0{,}04$$

• Il reste maintenant à diviser $0{,}04$ par $16$. Cette fois on multiplie par $1000$ :
  $$40=16\times2 + 8$$et donc en divisant par $1000$ :
  $$0{,}04=16\times 0{,}002+0{,}008$$

• Il reste maintenant à diviser $0{,}008$ par $16$. Cette fois on multiplie par $10000$ :
  $$80=16\times 5+0$$ça y est, il n’y a plus de reste ! On a tout divisé par $16$ !
  Et finalement :
  $$0{,}008=16\times 0{,}0005$$

• Récapitulatif :
  $$\begin{aligned} 37 & =16 \times 2+5 \\ & =16 \times 2+16 \times 0{,}3+0{,}2 \\ & =16 \times 2+16 \times 0{,}3+16 \times 0{,}01+0{,}04 \\ & =16 \times 2+16 \times 0{,}3+16 \times 0{,}01+16 \times 0{,}002+0{,}008 \\ & =16 \times 2+16 \times 0{,}3+16 \times 0{,}01+16 \times 0{,}002+16 \times 0{,}0005\end{aligned}$$

Et on peut donc factoriser par $16$ :
$$37=16\times (2+0{,}3+0{,}01+0{,}002+0{,}0005)=16\times 2{,}3125$$