Une histoire d’ombres - Episode 2

(NB : ce problème constitue une suite du problème "Une histoire d’ombres - Episode 1". Pour une bonne compréhension de l’énoncé et de la problématique, il est conseillé de résoudre ou au moins lire l’énoncé de ce premier épisode)

Après toutes ces constatations sur les longueurs des ombres en fonction de l’heure de la journée, Pierre se demande "comment ça fonctionne, ce truc de mesure indirecte avec les ombres ?".

Sur son petit carnet, il dessine dans la partie supérieure l’arbre, et positionne les deux points suivants : $E$ touchant le sol et $F$ constituant le sommet de l’arbre. Ainsi le segment $EF$ représente la taille de l’arbre. Il positionne ensuite le soleil loin dans le coin droit et constate rapidement qu’il existe un point $D$ sur le sol qui correspond à l’extrémité de l’ombre, et que ce point D est l’ombre du sommet de l’arbre F. Dans la partie inférieure, il fait le même dessin en représentant le bâton et son ombre avec les trois points $A$,$B$ et $C$. Chose importante : il se dit qu’à une heure fixée l’inclinaison du soleil doit être identique, donc les deux droites issues de $DF$ et $AC$, qui représentent la trajectoire des rayons du soleil, doivent être parallèles.

1. Que représentent les segments $EF$, $DE$, $BC$ et $AB$ ?

Constatant qu’il a maintenant affaire à deux triangles , un grand $DEF$ (le triangle de l’arbre) et un petit $ABC$ (le triangle du bâton), il cherche alors des points communs aux deux triangles . Il y en a plusieurs, mais le plus évident est que les deux angles en $D$ et en $A$ sont égaux, vu que les deux droites venant du soleil sont parallèles. Ce sont deux triangles semblables (triangles de même forme mais de taille différente).
Ensuite il a l’idée de superposer les points $A$ et $D$ (faire "comme si" les deux extrémités d’ombre se trouvaient au même endroit.

2. Représenter sur ce dessin le deuxième bâton par deux points $G$ et $H$ et l’if par deux points $I$ et $J$

Revenons maintenant aux rapports de grandeur entre objets. Nous avons vu précédemment que ce rapport entre $2$ objets était une constante et qu’elle pouvait s’exprimer par le rapport des ombres de ces deux objets pris à n’importe quel moment de la journée, et que pour calculer la taille du second objet, il suffisait de multiplier la taille du premier objet par ce rapport de grandeur.

3. Ecrire la relation donnant le rapport de grandeur $n$ entre le premier bâton et l’arbre en fonction des longueurs des ombres $AE$ et $AB$.
   Ecrire la relation donnant ce même rapport de grandeur n entre le premier bâton et l’arbre en fonction des tailles $EF$ et $BC$
   Ecrire la relation existant entre le rapport des tailles de deux objets $EF$ et $BC$, et le rapport de leurs ombres $AE$ et $AB$.
   Ecrire la relation entre la taille du second objet et les trois autres grandeurs $AE$,$AB$ et $BC$.

4. Utiliser cette relation pour la détermination de la taille d’un immense sequoia, en prenant pour référence l’if. Rappeler quelle est la valeur (connue) de BC représentant l’if.
   Les autres données sont : $AB=13.5\,\mathrm{m}$ ; $AE=16.5 \,\mathrm{m}$. Que vaut $EF$ ?

Pierre a alors envie d’aller encore un peu plus loin, et de quitter le monde des ombres pour ne plus considérer que des triangles semblables et de faire de la géométrie pure. Il dessine donc un triangle rectangle quelconque $MNO$ sur son carnet, le coupe à un endroit quelconque, créant ainsi deux points $P$ et $Q$. C’est exactement le même dessin que précédemment avec les ombres.

5. Ecrire la relation générale existant entre les longueurs $MN$, $NO$, $PQ$ et $MP$.
   Que vaut $PQ$ si $NO=10$, $MN=20$ et $MP=2$ ?
   Que vaut $PQ$ si $NO=21$, $MN=14$ et $MP=12$ ?
   Que vaut $PQ$ si $NO=8$, $MN=20$ et $MP=30$ ?
   Que vaut $PQ$ si $NO=10$ et qu’on a coupé $MN$ en son milieu ?
   (NB : ne pas hésiter à tracer les points correspondants sur la figure pour concrétiser les réponses)