Une identité remarquable cachée dans un carré

Soient un segment $[AB]$ et un point quelconque $F$ sur ce segment

1. Montrer que l’aire d’un carré de côté $AB$ est égale à la somme des aires, de deux aires de carrés de côtés $AF$ et $FB$ d’une part, et de deux fois l’aire d’un rectangle de côtés $AF$ et $FB$ d’autre part.

2. Si on pose $AF=a$ et $FB=b$, écrire l’identité remarquable liant a et b, et reproduisant la relation géométrique démontrée précédemment.

NB

• Une figure désignée par ses sommets, par exemple $ABCD$, désigne la figure elle-même ; $[ABCD]$ désigne son aire.
• La seconde question est une interprétation « moderne », algébrique, de cette proposition des Eléments d’Euclide qui, à l’origine, était exprimée de façon purement géométrique. Cette interprétation est à l’origine de la dénomination "algèbre géométrique" souvent utilisée pour parler du livre 2 des Eléments d’Euclide, signifiant par là que des nombres liés par une relation algébrique entretiennent aussi entre eux des relations "géométriques".