Une inégalité

Oui, l’inégalité est vraie, avec égalité si et seulement si $a=b=c=\frac19$.

Posons $x=\sqrt a$, $y=\sqrt b$, $z=\sqrt c$, de sorte que $x,y,z>0$ et $x+y+z=1$. Comme $a+b+c=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ et $a^{3}+b^{3}+c^{3}=x^{6}+y^{6}+z^{6}$, il s’agit de montrer
$$\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{5}\ \leqslant\ x^{6}+y^{6}+z^{6}.\qquad \qquad \tag{$\ast$}$$La contrainte $x+y+z=1$ avec $x,y,z>0$ dit exactement que $(x,y,z)$ est une distribution de probabilité. Considérons donc la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur $x$ avec probabilité $x$, la valeur $y$ avec probabilité $y$, la valeur $z$ avec probabilité $z$. Alors
$$\mathbb{E}[X]=x\cdot x+y\cdot y+z\cdot z=x^{2}+y^{2}+z^{2},\qquad \mathbb{E}\bigl[X^{5}\bigr]=x\cdot x^{5}+y\cdot y^{5}+z\cdot z^{5}=x^{6}+y^{6}+z^{6}.$$La fonction $u\mapsto u^{5}$ étant convexe sur $\mathbb{R}_+$, l’inégalité de Jensen donne
$$\mathbb{E}[X]^{5}\ \leqslant\ \mathbb{E}\bigl[X^{5}\bigr],$$ce qui est précisément $(\ast)$. $\blacksquare$

on applique l’inégalité de Ho''lder avec $p=5$ et $q=5/4$ (on a bien $1/p+1/q=1$) et en écrivant $x=(x^{3})^{1/5}(\sqrt x)^{4/5}$ pour a, b et c