Une infinité de contours

Une infinité de disques dans un carré

Dans un carré de côté $1$, on veut peindre une infinité de disques, sans qu’ils se touchent, puis entourer chacun d’eux d’un fil. Peut-on rendre la surface peinte aussi petite qu’on le souhaite, tout en ayant besoin d’une longueur de fil infinie ?

On travaille dans le carré $C=[0,1]^2$ du plan muni d’un repère orthonormé.
Tous les disques considérés sont fermés, de rayons strictement positifs.
Ils sont dits deux à deux disjoints lorsque deux disques distincts n’ont aucun point commun, même sur leurs bords.

Pour une famille de disques de rayons $(r_j)_{j\geqslant1}$, on appelle aire totale et longueur totale des contours les sommes

$$\mathcal A=\sum_{j\geqslant1}\pi r_j^2, \qquad \mathcal L=\sum_{j\geqslant1}2\pi r_j.$$

Une somme de termes positifs est ici la limite de ses sommes partielles ; cette limite peut valoir $+\infty$.
La longueur $\mathcal L$ additionne les périmètres de tous les disques.

I. Ce que le carré impose

1. Soit une famille de disques deux à deux disjoints contenus dans $C$, de rayons $(r_j)_{j\geqslant1}$.
Montrer que $\mathcal A\leqslant1$.
Pour un réel $a>0$, majorer le nombre de disques de rayon supérieur ou égal à $a$.
En déduire que $r_j\longrightarrow0$.

2. On suppose en outre que les centres sont tous situés sur une même droite horizontale.
En considérant les diamètres portés par cette droite, montrer que

$$\sum_{j\geqslant1}2r_j\leqslant1.$$

Un tel alignement peut-il répondre au défi posé dans l’introduction ?

II. Des rangées de plus en plus petites

Pour chaque entier $n\geqslant1$, on considère la bande

$$B_n=[0,1]\times\bigl[1-2^{1-n},\,1-2^{-n}\bigr].$$

On la partage en $2^n$ petits carrés de côté $2^{-n}$, notés

$$Q_{n,k}= \left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}\right] \times\bigl[1-2^{1-n},\,1-2^{-n}\bigr], \qquad 0\leqslant k<2^n.$$

On fixe un réel $\theta\in ]0,1[$.
Dans chaque carré $Q_{n,k}$, on place le disque $D_{n,k}$ de même centre que ce carré et de rayon

$$r_n=\frac{\theta}{2^{n+1}}.$$

Les quatre premières rangées, pour $\theta=0{,}68$. La construction se poursuit dans la bande grisée.

3. Donner les coordonnées du centre $c_{n,k}$ de $D_{n,k}$.
Montrer que chaque disque est contenu dans l’intérieur de son petit carré.
En déduire que tous les disques $D_{n,k}$ sont contenus dans $C$ et sont deux à deux disjoints.

4. Calculer le nombre de disques, la somme des périmètres $p_n$ et la somme des aires $a_n$ dans la rangée $n$.
Combien de disques les $N$ premières rangées contiennent-elles au total ?

5. On note $L_N$ la somme des périmètres et $A_N$ la somme des aires des disques des $N$ premières rangées.
Calculer $L_N$ et $A_N$, puis déterminer leurs limites lorsque $N\longrightarrow+\infty$.
Donner les valeurs obtenues pour $\theta=\tfrac12$.

6. Résoudre le défi : montrer que, pour tout $\varepsilon>0$, il existe dans $C$ une infinité de disques deux à deux disjoints dont l’aire totale est inférieure à $\varepsilon$ et dont la longueur totale des contours est infinie.
Peut-on exiger de plus que tous leurs rayons soient inférieurs à $\varepsilon$ ?