Une jolie équation différentielle

On propose deux méthodes, toutes les deux par analyse-synthèse.
Méthode 1 :
Analyse :
Soit $f$ une telle solution. On rappelle que l’ensemble des fonctions impaires et paires continues sont supplémentaires dans $\mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R}).$ On décompose $f$ sous la forme $f=\varphi+\psi$ avec $\varphi$ paire et $\psi$ impaire. On obtient alors
$$\varphi''(x)+\varphi(x)+\psi''(x)-\psi(x)=0+x$$puisque $\varphi''$ est paire et $\psi''$ impaire on en déduit par unicité de la décomposition que
$$\varphi''(x)+\varphi(x)=0\text{ et que }\psi''(x)-\psi(x)=x.$$L’ensemble des solutions de $y''+y=0$ est $\operatorname{Vect}(\sin,\cos)$ et l’ensemble des solutions de $y''-y=x$ est $\left\{x\mapsto -x +\lambda e^x+\mu e^{-x}\mid \lambda,\mu\in\mathbb{R}\right\}$. La fonction $\varphi$ étant paire elle s’écrit $\varphi(x)=\lambda\cos(x)$ et $\psi$ étant impaire elle s’écrira sous la forme $\psi(x)=-x+\mu\sinh(x).$ On en déduit que $f(x)=-x+\lambda \cos(x)+\mu\sinh(x).$
Synthèse :
On pose $f(x)=-x+\lambda \cos(x)+\mu\sinh(x)$ et on vérifie facilement qu’elle est bien solution de l’équation.

Méthode 2 :
Analyse :
On remarque que $f''(x)=x-f(-x)$ de telle sorte que $f''$ est de classe $\mathcal{C}^2$ comme somme et composée de fonction de classe $\mathcal{C}^2,$ i.e. $f$ est de classe $\mathcal{C}^4.$ En dérivant deux fois de plus on a alors
$$f^{(4)}(x)+f''(-x)=f^{(4)}+(-x-f(x))=f^{(4)}-f(x)=x.$$Ainsi $f$ est solution de l’équation $(\widetilde{E})\colon y^{(4)}-y=x$. On commence par résoudre l’équation homogène, donc par résoudre l’équation caractéristique $r^4-1=0$ qui a pour solution $r\in\left\{-1,1,-i,i\right\}$. Les solutions de l’équation homogène sont donc de la forme
$$y_h(x)=\lambda e^x+\mu e^{-x}+\gamma e^{ix}+\delta e^{-ix},(\lambda,\mu,\gamma,\delta)\in\mathbb{C}^4\text{ ou encore }y_h(x)=a e^x+b e^{-x}+c \cos(x)+ d\sin(x),(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4.$$Par ailleurs, une solution évidente de $(\widetilde{E})$ est $y_0(x)=-x.$ On sait alors qu’il existe $(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4$ tels que
$$f(x)=-x+a e^x+b e^{-x}+c \cos(x)+ d\sin(x).$$On a alors $\forall x\in\mathbb{R},$
$$x=f''(x)+f(-x)=ae^x+be^{-x}-c\cos(x)-d\sin(x)+x+ae^{-x}+be^x+c\cos(x)-d\sin(x)$$donc
$$x=+(a+b)e^x+(a+b)e^{-x}-2d\sin(x) 0= (a+b)\ch(x)-2d\sin(x).$$En évaluant en $x=0$ on $a+b=0$, puis, en évaluant en $x=\dfrac{\pi}{2}$ on a $d=0.$ On conclut notre analyse en affirmant que $f$ est de la forme
$$f(x)=-x+a\sinh(x)+c\cos(x).$$Synthèse :
On pose $f(x)=-x+a\sinh(x)+c\cos(x).$ On a alors
$$f''(x)+f(-x)=a\sinh(x)-c\cos(x)+x-a\sinh(x)+c\cos(x)=x.$$L’ensemble des solutions de l’équation demandée est alors
$$S=\left\{x\longmapsto -x+a\sinh(x)+c\cos(x)\mid (a,c)\in\mathbb{R}^2\right\}.$$