une jolie formule pour la série harmonique

Pour $x$ réel $>-1$

Montrez que:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+x})=\ln(x+1)+\gamma-\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{a_{k}}{k}\cdot\frac{x\Gamma (x)}{(x+k)\Gamma (x+k)}$

où $\displaystyle a_{k}=(-1)^{k-1}\int_{0}^{1}\prod_{j=0}^{k-1}(t-j)\mathrm{d}t$

soit:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+x})=\ln(x+1)+\gamma-\frac{1}{2}\frac{1}{(x+1)}-\frac{1}{12}\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{12}\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}-\cdots$