Une matrice d’ordre $8$ dans $\text{SL}_{2}(\mathbb F_{p})$

Montrons que 2 est un carré dans $\mathbb{F}_p$.
Comme $p\equiv\pm 1\pmod 8$, le nombre $p$ est impair, donc $p^{2}\equiv 1\pmod 8$ : l’entier $8$ divise $p^{2}-1$. Le groupe multiplicatif $\mathbb{F}_{p^{2}}^{\times}$ étant cyclique d’ordre $p^{2}-1$, il contient un élément $\zeta$ d’ordre exactement $8$. Posons
$$t=\zeta+\zeta^{-1}\in\mathbb{F}_{p^{2}} .$$Le carré se calcule tout seul. L’élément $\zeta^{4}$ est d’ordre $2$, et le seul élément d’ordre $2$ du groupe multiplicatif d’un corps est $-1$ : donc $\zeta^{4}=-1$, d’où
$$\zeta^{2}+\zeta^{-2}=\zeta^{-2}\bigl(\zeta^{4}+1\bigr)=0,\qquad\text{et}\qquad t^{2}=\zeta^{2}+2+\zeta^{-2}=2 .$$Reste à voir que $t$ appartient bien au sous-corps $\mathbb{F}_p$, c’est-à-dire que $t^{p}=t$. Le morphisme de Frobenius étant additif,
$$t^{p}=\zeta^{p}+\zeta^{-p},$$et l’on conclut selon la congruence, en utilisant $\zeta^{8}=1$ :

• si $p\equiv 1\pmod 8$, alors $\zeta^{p}=\zeta$ et $t^{p}=\zeta+\zeta^{-1}=t$ ;
• si $p\equiv -1\pmod 8$, alors $\zeta^{p}=\zeta^{-1}$ et $t^{p}=\zeta^{-1}+\zeta=t$.
  Dans les deux cas, $t\in\mathbb{F}_p$ et $t^{2}=2$.

Posons $M=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&t\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. C’est la matrice compagnon de $\chi_M=X^{2}-tX+1$.
Le théorème de Cayley–Hamilton donne $M^{2}=tM-I_2$, d’où, en utilisant $t^{2}=2$ :
$$M^{4}=\bigl(tM-I_2\bigr)^{2}=t^{2}M^{2}-2tM+I_2=2\bigl(tM-I_2\bigr)-2tM+I_2=-I_2 .$$Par conséquent $M^{8}=(-I_2)^{2}=I_2$, donc l’ordre de $M$ divise $8$. Et cet ordre ne divise pas $4$, puisque $M^{4}=-I_2\neq I_2$, le corps $\mathbb{F}_p$ étant de caractéristique impaire. L’ordre de $M$ vaut donc exactement $8$. $\blacksquare$

Notons que la réciproque est vraie : $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ contient un élément d’ordre $8$ si et seulement si $p\equiv\pm 1\pmod 8$. L’ordre du groupe n’y est pour rien, il vaut $p(p^{2}-1)$, toujours divisible par $8$ pour $p$ impair, si bien que Lagrange n’oppose aucune obstruction. C’est la structure du $2$-sous-groupe de Sylow qui tranche.