Une matrice pleine de péché

Commençons par traiter le cas $n=1$, on a alors $A=(\sin(2))$ de rang $1$ car $\sin(2)\neq 0$ et $\det(A)=\sin(2).$ On suppose désormais que $n\geqslant2$. Grâce à la formule $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$ on a
$$A=(\sin(i)\cos(j))_{1\leqslant i,j\leqslant n} +(\cos(i)\sin(j))_{1\leqslant i,j\leqslant n} =YX^T+XY^T.$$Toutes les colonnes de $XY^T$ sont des multiples non nuls de $X$ qui est également non nul si bien que $\operatorname{rg}(XY^T)=1$ et de même pour $YX^T.$ On a alors
$$\operatorname{im}(A)=\operatorname{im}(XY^T+YX^T) \subset \operatorname{im}(XY^T)+\operatorname{im}(YX^T) \subset \operatorname{Vect}(X,Y).$$Ainsi le rang de $A$ est au plus $2.$ On remarque que le mineur $2\times 2$ extraît des deux premières lignes et colonnes de $A$ est
$$\begin{vmatrix} \sin(2) & \sin(3)\\ \sin(3) & \sin(4) \end{vmatrix} =\sin(2)\sin(4)-\sin(3)^2 =\dfrac{\cos(4-2)-\cos(4+2)}{2}-\dfrac{1-\cos(6)}{2} =\dfrac{\cos(2)-1}{2}\neq 0.$$Donc $\operatorname{rg}(A)\geqslant 2.$ On a alors $\operatorname{rg}(A)=2$ ce qui implique que $\det(A)=0$ lorsque $n\geqslant 3$ et $\det(A)=\dfrac{\cos(2)-1}{2}$ si $n=2$ (c’est le mineur qu’on vient de calculer).