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Solution

Solution by Ancient Tree · FR

La surface de l’octogone est composée d’un carré moyen central, 4 carrés moyens sur les côtés, plus 4 demi-carrés moyens, pour un total de 7 carrés moyens. Chaque carré moyen étant composé de 9 surfaces unitaires, on en déduit que l’aire de l’octogone est de $9\times 7=63$ unités.
En ajoutant 1, on obtient $63+1=64$ unités de surface.
Il faut se demander ce qu’est une unité de surface par rapport au diamètre du cercle : la relation clé est
$S_{U}=\left(\frac{D}{9}\right)^{2}.$ D’où on obtient, d’après la question 2, que l’aire du disque est d’environ
$64\times S_{U}=\frac{64D^{2}}{81}=\left(\frac{8}{9}D\right)^{2}=\left(D-\frac{D}{9}\right)^{2}$ qui est la formule annoncée.
L’aire d’un disque est donnée par $\pi R^{2}$ où $R$ est le rayon du disque, soit $R=\frac{D}{2}$ ; d’où, sous l’approximation des Égyptiens :
$\pi\left(\frac{D}{2}\right)^{2}=\frac{\pi D^{2}}{4}=\left(D-\frac{D}{9}\right)^{2}$ En simplifiant par $D^{2}$ , puis en isolant $\pi$ , on trouve $\pi=4\times \left(\frac{8}{9}\right)^{2}=\frac{256}{81}\approx 3{,}1605$ . Donc pas tout à fait la bonne valeur de $\pi$ , mais remarquable pour un document qui a été écrit plus d’un millénaire avant les Grecs anciens !