Une propriété d’ensemble réel à cinq éléments

NB : on exclut le cas trivial $x = y$, omis par l’énoncé.

Si $x,y \in \mathbf{R}$, on dispose lorsque cela a un sens de la formule suivante :
$$\tan(x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}.$$Cette formule ressemble à l’expression de l’énoncé ; il s’agit ici de s’y ramener. À cet effet, on note $x_1 < \cdots < x_5$ les éléments de $E$ et $y_i = \mathrm{Arctan}\,x_i$ pour tout $i \in \llbracket 1,5 \rrbracket$. Ces derniers sont dans un intervalle ouvert de longueur $\pi$, ce qui force l’existence de deux indices $i \neq j$ tels que $0 \leqslant y_i - y_j \leqslant \pi/4$. En passant à la tangente :
$$0 \leqslant \tan(y_i - y_j) = \frac{x_i - x_j}{1 + x_i x_j} \leqslant 1.$$