Une propriété géométrique intéressante de la parabole

Rappelons que par définition de la parabole $BF = BH$ avec $BH = AE+p=AE+AF$,
donc $BF=AE+AF$

Appliquons ensuite la relation de Pythagore au triangle $FEB$ rectangle en $E$:
$BF^{2}=FE^{2}+EB^{2}$ avec $FE=AE-AF$ et $EB=AD$
donc $BF^2=(AE-AF)^2+AD^2$ (2)

Développons (2) en utilisant (1) :
$(AE+AF)^2=(AE-AF)^2+AD^2$
$AE^2+AF^2+2*AE*AF= AE^2+AF^2-2*AE*AF+AD^2$
d’où $AD^2=4*AF*AE$ avec $4*AF=AG$

Nous avons donc bien : $AD^2=AG*AE$ (3) ,

ce qui démontre bien l’égalité des deux surfaces , du carré de côté AD (en jaune) et du rectangle de côtés AG et AE (en bleu)

Notons encore que la relation (3) peut aussi s’écrire sous la forme d’une moyenne proportionnelle, chère aux mathématiciens antiques, grecs et arabes :

        $AG/AD=AD/AE$        $AD$ est ainsi moyenne proportionnelle de $AG$ et $AE$