Une propriété géométrique intéressante de la parabole

Soit une parabole de sommet $A$ , d’axe de symétrie $D_{2}$ , de directrice $D_{1}$ , de paramètre $p$ et de foyer $F$ .
Soit $G$ un point de l’axe tel que
$AG=4\times AF=4 \times p$

Montrez que la surface d’un carré de côté AD est égale à la surface du rectangle de côtés AG et AE, autrement dit que
$\frac{AG}{AD}=\frac{AD}{AE}$

Note : Pour les mathématiciens antiques, grecs et arabes, $AD$ était appelée "moyenne proportionnelle" entre $AG$ et $AE$ .

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Solution by alouette

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Rappelons que par définition de la parabole $BF = BH$ avec $BH = AE+p=AE+AF$ ,
donc $BF=AE+AF$

Appliquons ensuite la relation de Pythagore au triangle $FEB$ rectangle en $E$ :
$BF^{2}=FE^{2}+EB^{2}$ avec $FE=AE-AF$ et $EB=AD$
donc $BF^2=(AE-AF)^2+AD^2$ (2)

Développons (2) en utilisant (1) :
$(AE+AF)^2=(AE-AF)^2+AD^2$
$AE^2+AF^2+2*AE*AF= AE^2+AF^2-2*AE*AF+AD^2$
d’où $AD^2=4*AF*AE$ avec $4*AF=AG$

Nous avons donc bien : $AD^2=AG*AE$ (3) ,

ce qui démontre bien l’égalité des deux surfaces , du carré de côté AD (en jaune) et du rectangle de côtés AG et AE (en bleu)

Notons encore que la relation (3) peut aussi s’écrire sous la forme d’une moyenne proportionnelle, chère aux mathématiciens antiques, grecs et arabes :

         $AG/AD=AD/AE$          $AD$  est ainsi moyenne proportionnelle de  $AG$  et  $AE$

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