Une série convergeant vers tout réel

Soit $x\geqslant 0$. Définissons $\alpha_n$ et $S_N=\sum_{n=1}^{N}\alpha_n/n$ par récurrence, avec $S_0=0$ :
$$\alpha_n=\begin{cases}1&\text{si } S_{n-1}+\dfrac1n\leqslant x,\\[2pt] 0&\text{sinon.}\end{cases}$$Par construction $S_N\leqslant x$ pour tout $N$, et $(S_N)$ est croissante : elle converge vers une limite $L\leqslant x$.

Supposons $L<x$ et posons $\varepsilon=x-L>0$. Pour tout $n>1/\varepsilon$, on a $S_{n-1}\leqslant L$ et $\frac1n<\varepsilon$, donc
$$S_{n-1}+\frac1n<L+\varepsilon=x,$$ce qui force $\alpha_n=1$. Ainsi $\alpha_n=1$ pour tout $n\geqslant N_0:=\lfloor 1/\varepsilon\rfloor+1$, et
$$S_N\geqslant\sum_{n=N_0}^{N}\frac1n\xrightarrow[N\to\infty]{}+\infty$$par divergence de la série harmonique, contradiction avec $S_N\leqslant x$. Donc $L=x$. $\blacksquare$