Une simple division qui peut surprendre

Voici $2$ manières de résoudre ce problème :

1. On peut décomposer en $120$ en produit facteurs premiers, on obtient
   $$120 = 2^3 \times 3 \times 5.$$Comme $n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$ est le produit de $5$ entiers consécutifs, alors on a forcément un entier divisible par $5$, un autre divisible par $4$, un autre divisible par $3$ et enfin un autre divisible par $2$.
   Autrement dit, on a un produit divisible par $120$.

2. On peut remarquer que $120=5!$ et que $n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=5! \binom{n+4}{5}$ où $\binom{n+4}{5} \in \mathbb{N}.$
   Il en vient alors le résultat.