Une somme de Riemann arithmétique

On se donne $\mathcal{A}$ une partie dense de l’espace des fonctions continue sur $[0,1]$ muni de la norme infinie.
Soit $\epsilon >0$, il existe $g_\epsilon=g\in \mathcal{A}$ tel que $\forall t\in [0,1]$, $|f(t)-g(t) )| \leq \epsilon$. Ainsi, pour tout $n\geq 1$,

$$\left | \frac{1}{\varphi(n)}\sum_{k\land n=1 } f\left(\frac{k}{n}\right)\,-\int_{0}^1 f(t)\,dt \right | \leq \frac{1}{\varphi(n)}\sum_{k\land n=1 } \left | f\left(\frac{k}{n}\right)-g\left(\frac{k}{n}\right) \right |+ \int_{0}^1 \left | f(t)-g(t) \right | dt \quad +\left | \frac{1}{\varphi(n)}\sum_{k\land n=1 } g\left(\frac{k}{n}\right) \,-\int_{0}^1 g(t)\,dt \right | \\ \leq 2\epsilon + \left | \frac{1}{\varphi(n)}\sum_{k\land n=1 } g\left(\frac{k}{n}\right) \,-\int_{0}^1 g(t)\,dt \right |$$

Supposons maintenant le résultat vrai pour les fonctions de $\mathcal{A}$. Puisque $g_\epsilon \in \mathcal{A}$, pour $n$ assez grand, on a $\left | \frac{1}{\varphi(n)}\sum_{k\land n=1 } f\left(\frac{k}{n}\right)\,-\int_{0}^1 f(t)\,dt \right | \leq 3\epsilon$, ce qui prouve le résultat pour toute fonction $f$.

Or, d’après le théorème de Féjer, l’espace des polynômes trigonométriques est dense. De plus, cet espace est engendré par la famille des fonctions $t\mapsto e^{2i m\pi t}$, $m\in \mathbb{Z}$ et les applications $f\longmapsto \frac{1}{\varphi(n)}\sum_{k\land n=1 } f\left(\frac{k}{n}\right)\,-\int_{0}^1 f(t)\,dt$, $n\geq 1$ sont linéaires, donc il suffit de montrer le résultat pour cette famille.

Soit $m\in \mathbb{Z}$, on veut donc montrer que
$$\frac{1}{\varphi(n)}\sum_{k\land n=1 } e^{2i m \pi k/n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_{0}^1 e^{2i m\pi t}\,dt.$$Si $m=0$, l’intégrale vaut $1$ et le résultat est clair. Sinon l’intégrale est nulle. On suppose donc que $m\neq 0$ et on pose pour tout $n\geq 1$,
$$S(n)=\sum_{k\land n=1 } e^{2i m \pi k/n}.$$Soit $n\geq 1$. Les $\{k/d,\,,k\land d=1\}$ où $d | n$ forment une partition de $\{k/n,\,1\leq k \leq n\}$, donc
$$\sum_{d | n}S(d)=\sum_{d | n} \sum_{k\land d=1 } e^{2i m \pi k/d}. =\sum_{k=1}^n e^{2i m \pi k/n}=\begin{cases} n \quad \text{si $n|m$} \\ 0 \quad \text{sinon} \end{cases}$$Donc d’après la formule d’inversion de Moebius,
$$S(n)=\sum_{d|n} \mu(n/d)\,d\,\mathrm{1}_{d|n}=\sum_{d|n\land m} \mu(n/d)\,d$$Ainsi,
$$|S(n)|\leq \sum_{d|n\land m}d \leq \sum_{d|m}d$$Ce qui prouve que la suite $(S(n))_n$ est bornée. Et comme $\varphi(n) \xrightarrow[n\to +\infty]{}+\infty$, on a le résultat.