Une récurrence pour les nombres premiers ???

Si cette récurrence existe, alors on peut la résoudre et obtenir l’existence de polynômes complexes $Q_1,\dots, Q_r$ ainsi que de complexes $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ tels que $\forall n\in\N, p_n=\sum_{i=1}^r Q_i(n) \alpha_i^n$. Ce résultat est issu du théorème sur les suites récurrentes à coefficients constants.

Ainsi, pour $n\to+\infty$, on a que $p_n$ serait équivalent à quelque chose de la forme $c\,n^a \sum_{j\in J}\alpha_j^n$ où $c$ est une constante complexe, $J$ l’ensemble des $\alpha_i$ de module maximal et $a$ le degré maximal des polynômes $Q_j, j\in J$.

Mais on sait pourtant que $p_n\underset{n\to+\infty}{\sim} n\ln(n)$ par le théorème des nombres premiers. Ce qui contredit ce qu’on vient de dire par croissance comparée (le log est négligeable que toutes les puissances de $n$ ou exponentielles).