Une trigonométrie inhabituelle

$\lambda$ est un paramètre réel donné,
$\theta$ est un réel $\in ]-\pi;+\pi[$
$\alpha$ est un réel $\in ]-\pi;+\pi[$

On pose:

$\displaystyle\cos(\theta)=\frac{\sinh(\lambda)+\cos(\alpha)\cosh(\lambda)}{\cosh(\lambda)+\cos(\alpha)\sinh(\lambda)}$

et

$\displaystyle\sin(\theta)=\frac{\sin(\alpha)}{\cosh(\lambda)+\cos(\alpha)\sinh(\lambda)}$

Montrez que $\displaystyle\theta=2\arctan\left(\mathrm{e}^{-\lambda}\tan(\frac{\alpha}{2})\right)$