Unicité de la limite

Soient $\ell$ et $\ell'$ deux réels vérifiant la définition de la limite. Supposons $\ell \neq \ell'$ et, quitte à échanger les rôles de $\ell$ et $\ell'$, supposons que $\ell < \ell'$.

On prend

$$\varepsilon = \frac{\ell' - \ell}{6}.$$

Il existe ainsi un rang $n_0$ tel que, pour tout $n \geq n_0$, on a

$$|u_n-\ell| < \varepsilon \qquad\text{et}\qquad |u_n-\ell'| < \varepsilon.$$

Or,

$$\begin{aligned} |\ell-\ell'| &= |(\ell-u_n)+(u_n-\ell')| \\ &\leq |\ell-u_n|+|u_n-\ell'| \\ &< 2\varepsilon \\ &= \frac{\ell'-\ell}{3}. \end{aligned}$$

Ainsi,

$$\ell'-\ell < \frac{\ell'-\ell}{3},$$

ce qui est absurde puisque $\ell'-\ell>0$.

Donc nécessairement,

$$\boxed{\ell=\ell'}.$$