Unit ball in finite dimension

If $B$ is the closed unit ball of $\R^{n}$ for some norm, then $B$ is a compact, symmetric ($i.e.$ stable by $x \mapsto -x$), convex neighborhood of $0$ in $\R^{n}.$ Those properties are independent of the norm, because they rely only on the vector space structure of $\R^n$ and its vector space topology.
Conversely, let $B \subseteq \R^n$ with the above properties. Using properties of the vector space topology on $\R^{n},$ for any nonzero $x\in \R^{n}$ the map
$$\gamma \colon \begin{cases} \R_{+} & \longrightarrow & \R^{n} \\ t & \longmapsto & tx \end{cases}$$is a homeomorphism; in particular, $\gamma^{-1}(B)$ contains a neighborhood of $0 \in \R^{+}.$ It also has convex image. Thus, the set $\{0\} \subsetneq I=\{ y \in B \ | \ \exists \lambda \in \R_{+} \colon y=\lambda x \}$ is a compact line segment, and we define $N(x) \in \R_{+}$ the only scalar such $I$ equals the segment $[0,\frac{1}{N(x)}x].$ We also set $N(0)=0$.
It is clear that $N(\lambda x) = \lambda N(x)$ for every positive scalar $\lambda,$ and one gets $N(-x)=N(x)$ from the fact that $B$ is symmetric. From this one can see that $B= \{ x \in \R^{n} \ | \ N(x) \leq 1\}.$ Finally, the triangle inequality stems from convexity of $B.$

Réponse

Une partie $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$ est la boule unité fermée d’une norme si et seulement si elle est
$$\textbf{convexe},\qquad \textbf{compacte},\qquad \textbf{symétrique } (A=-A),\qquad \textbf{d'intérieur non vide}.$$Autrement dit : $A$ est un corps convexe symétrique. La norme est alors unique, et c’est la jauge de Minkowski de $A$.

Condition nécessaire

Soit $N$ une norme sur $\mathbb{R}^{n}$ et $A=\overline{B}_N(0,1)=\{x : N(x)\leqslant 1\}$.

• Convexité. Si $N(x),N(y)\leqslant 1$ et $t\in[0,1]$, alors $N(tx+(1-t)y)\leqslant tN(x)+(1-t)N(y)\leqslant 1$.
• Symétrie. $N(-x)=|-1|\,N(x)=N(x)$.
• Compacité. $A$ est fermé comme image réciproque de $[0,1]$ par l’application continue $N$. Toutes les normes de $\mathbb{R}^{n}$ étant équivalentes, il existe $c>0$ avec $c\|x\|_2\leqslant N(x)$, donc $A\subseteq \overline{B}_{\|\cdot\|_2}(0,1/c)$ est borné.
• Intérieur non vide. De même, il existe $C>0$ avec $N\leqslant C\|\cdot\|_2$, donc $\overline{B}_{\|\cdot\|_2}(0,1/C)\subseteq A$ et $0\in\mathring{A}$.

Condition suffisante

Supposons $A$ convexe, compacte, symétrique, d’intérieur non vide.

Réduction : $0\in\mathring{A}$. Soit $x\in\mathring{A}$. Par symétrie $-x\in\mathring{A}$, et $\mathring{A}$ est convexe (l’intérieur d’un convexe l’est), donc $0=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}(-x)\in\mathring{A}$. Fixons alors $r>0$ et $R>0$ tels que
$$\overline{B}(0,r)\subseteq A\subseteq \overline{B}(0,R),$$la seconde inclusion venant de la bornitude.

La jauge. Posons, pour $x\in\mathbb{R}^{n}$,
$$p_A(x)=\inf\{t>0\ :\ x\in tA\}.$$L’ensemble considéré est non vide : $x\in tA$ dès que $t\geqslant \|x\|/r$, car alors $x/t\in\overline{B}(0,r)\subseteq A$. On a donc $p_A(x)\leqslant \|x\|/r<+\infty$.

• Séparation. Si $x\in tA$ alors $\|x\|\leqslant tR$, d’où $p_A(x)\geqslant \|x\|/R$. En particulier $p_A(x)>0$ pour $x\neq 0$, et $p_A(0)=0$.
• Homogénéité. Pour $\lambda>0$, $x\in tA\iff \lambda x\in \lambda t A$, donc $p_A(\lambda x)=\lambda p_A(x)$. Et $p_A(-x)=p_A(x)$ puisque $-A=A$. D’où $p_A(\lambda x)=|\lambda|\,p_A(x)$ pour tout $\lambda\in\mathbb{R}$.
• Sous-additivité. Soient $s>p_A(x)$ et $t>p_A(y)$, de sorte que $x=sa$ et $y=tb$ avec $a,b\in A$. Par convexité,
  $$\frac{x+y}{s+t}=\frac{s}{s+t}\,a+\frac{t}{s+t}\,b\in A,$$donc $p_A(x+y)\leqslant s+t$. En faisant tendre $s\to p_A(x)$ et $t\to p_A(y)$, on obtient $p_A(x+y)\leqslant p_A(x)+p_A(y)$.

Ainsi $p_A$ est une norme.

$A$ est sa boule unité fermée. Si $x\in A$, alors $x\in 1\cdot A$ et $p_A(x)\leqslant 1$. Réciproquement, supposons $p_A(x)\leqslant 1$. Par définition de la borne inférieure, il existe une suite $t_k\to p_A(x)$ avec $t_k>p_A(x)$ et $x\in t_kA$ ; quitte à extraire, on peut supposer $t_k\to 1^{+}$ si $p_A(x)=1$, et sinon prendre directement un $t<1$. Dans le premier cas, $x/t_k\in A$ et $x/t_k\to x$, donc $x\in A$ par fermeture de $A$. Dans le second, $x=ta$ avec $a\in A$, $t<1$, et comme $0\in A$ et $A$ est convexe, $x=ta+(1-t)\cdot 0\in A$. $\blacksquare$

Remarques

• Unicité. Si deux normes $N_1,N_2$ ont la même boule unité fermée $A$, alors $N_1=p_A=N_2$ : en effet $N(x)=\inf\{t>0 : N(x/t)\leqslant 1\}$ pour toute norme $N$ dont $A$ est la boule unité. La correspondance entre normes sur $\mathbb{R}^{n}$ et corps convexes symétriques est donc bijective.
• Aucune des quatre conditions n’est superflue, comme le montrent les contre-exemples ci-dessous. En revanche, « intérieur non vide » peut se remplacer par « $A$ engendre $\mathbb{R}^{n}$ » ou par « $0\in\mathring{A}$ » : ces conditions sont équivalentes pour un convexe symétrique.
• Sans l’hypothèse de symétrie, la jauge $p_A$ reste bien définie et fournit exactement les fonctions convexes positivement homogènes, dont les boules unités sont les convexes compacts contenant $0$ à l’intérieur : c’est le cadre des normes asymétriques (ou jauges).
• En dimension infinie, la caractérisation tombe : la boule unité fermée d’un espace normé n’est compacte que si l’espace est de dimension finie (théorème de Riesz). La bonne condition devient alors : convexe, fermée, symétrique, bornée et d’intérieur non vide.
• La bijection norme $\leftrightarrow$ corps convexe symétrique est le point de départ de la géométrie des nombres : le théorème de Minkowski s’énonce en disant qu’un tel corps de volume $>2^{n}$ contient un point entier non nul.

Exemples

1. $A=\overline{B}_{\infty}=[-1,1]^{n}$ donne $p_A=\|\cdot\|_{\infty}$ ; le cube est bien convexe, compact, symétrique et d’intérieur non vide.
2. $A$ l’octaèdre $\{\sum_i|x_i|\leqslant 1\}$ donne $\|\cdot\|_1$. Plus généralement, tout polytope convexe symétrique d’intérieur non vide définit une norme polyédrale, et $p_A(x)=\max_k |\langle u_k,x\rangle|$ si $A=\{x : |\langle u_k,x\rangle|\leqslant 1,\ k=1,\dots,m\}$.
3. $A$ un ellipsoïde plein $\{x : \langle Sx,x\rangle\leqslant 1\}$ avec $S$ symétrique définie positive donne la norme euclidienne $x\mapsto\sqrt{\langle Sx,x\rangle}$.
4. Contre-exemple (convexité). La croix $A=\{(x,y) : \min(|x|,|y|)\leqslant \tfrac12,\ \max(|x|,|y|)\leqslant 1\}$ est compacte, symétrique, d’intérieur non vide, mais non convexe : $p_A$ ne vérifie pas l’inégalité triangulaire.
5. Contre-exemple (compacité). La bande $A=\mathbb{R}\times[-1,1]$ dans $\mathbb{R}^{2}$ est convexe, fermée, symétrique, d’intérieur non vide, mais non bornée : $p_A(1,0)=0$ avec $(1,0)\neq 0$, la séparation échoue. De même, la boule ouverte $\{\|x\|<1\}$ est exclue faute d’être fermée.
6. Contre-exemple (symétrie). Le triangle plein de sommets $(0,0),(1,0),(0,1)$ est convexe et compact d’intérieur non vide, mais $p_A(-1,0)=+\infty$ : il n’absorbe pas les vecteurs.
7. Contre-exemple (intérieur vide). Le segment $A=[-1,1]\times\{0\}$ dans $\mathbb{R}^{2}$ est convexe, compact et symétrique, mais $p_A(0,1)=+\infty$ : $A$ n’engendre pas $\mathbb{R}^{2}$.