valeur approchée d’une intégrale Eulérienne par une somme de Riemann

Pour $\alpha>-1$ et $n$ suffisamment grand,

on peut approcher la valeur de l’intégrale Eulérienne $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{\alpha}e^{-t}\mathrm{d}t$

par la somme de Riemann $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle(\frac{k}{n})^{\alpha}e^{-\frac{k}{n}}\frac{1}{n}$

Mais on aimerait aussi avoir une estimation de l’erreur d’approximation commise.

Montrez que, pour $2\pi n>1$ :

$\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle(\frac{k}{n})^{\alpha}e^{-\frac{k}{n}}\frac{1}{n}-\displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{\alpha}e^{-t}\mathrm{d}t=\frac{1}{n^{\alpha+1}}\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^{k}\frac{\zeta(-\alpha -k)}{k!n^{k}}$

on rappellera (si besoin) l’équation fonctionnelle de $\zeta$ :

$\zeta(1-x)=\cos(\frac{x\pi}{2})\frac{\zeta(x)}{\pi^{x}}\frac{\Gamma(x)}{2^{x-1}}$ et en précisant que $\zeta(0)=-\frac{1}{2}$