Valeurs rationelles de $\sin(r\pi)$

On admet (voir problèmes liés) que les $r\in\mathbb{Q}$ tels que $\cos(r\pi)\in \mathbb{Q}$ est l’ensemble $\frac{1}{3}\mathbb{Z} \cup \frac{1}{2}\mathbb{Z}$
Ainsi, si $\sin(r\pi)\in \mathbb{Q}$, alors $\sin^{2}(r\pi)=1-\cos^{2}(r\pi)=1-\frac{\cos(2r\pi)+1}{2} \in \mathbb{Q}$.
Donc $\cos(2r\pi) \in \mathbb{Q}$.
Ainsi, $r\in\frac{1}{6}\mathbb{Z} \cup \frac{1}{4}\mathbb{Z}$ .

Réciproquement, seuls les $r$ dans $\frac{1}{6}\mathbb{Z} \cup \left(\frac{1}{2} + \mathbb{Z}\right)$ vérifient $\sin(r\pi)\in \mathbb{Q}$.

On en conclut que l’ensemble des solutions est $\frac{1}{6}\mathbb{Z} \cup \left(\frac{1}{2} + \mathbb{Z}\right)$.