Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Valeurs rationelles de cos⁡(rπ)\cos(r\pi)

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Solution by Uettechat · FR

Supposons qu’il existe r=pq∈Qr=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q} tel que cos⁡(rπ)∈Q\cos(r\pi) \in \mathbb{Q}.

Une idée serait de penser aux polynômes de Tchebychev:
Tq(cos⁡(rπ))=cos⁡(pπ)T_{q}(\cos(r\pi))=\cos(p\pi)On pourrait alors s’intéresser au polynôme à coefficients entiers Tq−cos⁡(pπ)T_{q}-\cos(p\pi), dont cos⁡(rπ)\cos(r\pi) est racine. Si Tq−cos⁡(pπ)T_{q}-\cos(p\pi) était un polynôme unitaire (ici son coefficient dominant vaut 2q2^{q}), on pourrait utiliser le résultat (voir problèmes liés) que cos⁡(rπ)∈Z\cos(r\pi)\in\mathbb{Z}, ce qui permettrait de quasiment conclure l’exercice. Il faudrait donc considérer un autre polynôme possédant des propriétés similaires, à coefficients entiers et unitaire.

On propose un tel polynôme dans la suite:
Soit n∈N∗n \in \mathbb{N^{*}}
On remarque que

(Xn+1Xn)(X+1X)=Xn+1+1Xn+1+Xn−1+1Xn−1\left(X^{n}+\frac{1}{X^{n}}\right)\left(X+ \frac{1}{X} \right) = X^{n+1}+\frac{1}{X^{n+1}}+X^{n-1}+\frac{1}{X^{n-1}}

D’où
Xn+1+1Xn+1=(Xn+1Xn)(X+1X)−(Xn−1+1Xn−1)X^{n+1}+\frac{1}{X^{n+1}}=\left(X^{n}+\frac{1}{X^{n}}\right)\left(X+ \frac{1}{X} \right)-\left(X^{n-1}+\frac{1}{X^{n-1}}\right)

On définit alors par récurrence le polynôme PnP_{n} par:
{P0=2P1=XPn+1=XPn−Pn−1\begin{cases} P_{0} = 2 \\ P_{1} = X \\ P_{n+1}=XP_{n}-P_{n-1} \end{cases}

Par récurrence immédiate, le polynôme PnP_{n} est unitaire à coefficients entiers et vérifie la relation:
Pn(X+1X)=Xn+1XnP_{n}\left(X+\frac{1}{X}\right)=X^{n}+\frac{1}{X^{n}}

On remarque que ∀θ∈R,Pn(eiθ+1eiθ)=Pn(2cos⁡(θ))=(eiθ)n+1(eiθ)n=2cos⁡(nθ)\forall \theta \in \mathbb{R}, P_{n}(e^{i \theta}+\frac{1}{e^{i \theta}})=P_{n}(2\cos(\theta))=(e^{i \theta})^{n}+\frac{1}{(e^{i \theta})^{n}}=2\cos(n\theta)

On considère alors le polynôme Q=Pq−2cos⁡(pπ)∈Z[X]Q=P_{q}-2\cos(p\pi) \in \mathbb{Z}[X], car cos⁡(pπ)=(−1)p∈Z\cos(p\pi)=(-1)^{p}\in\mathbb{Z}
On remarque que Q(2cos⁡(rπ))=Pq(2cos⁡(pπq))−2cos⁡(pπ)=0Q(2\cos(r\pi))=P_{q}(2\cos(\frac{p\pi}{q}))-2\cos(p\pi)=0, donc 2cos⁡(rπ)2\cos(r\pi) est racine de QQ.

On utilise le résultat (voir problèmes liés) que comme QQ à coefficients entiers et unitaire et 2cos⁡(rπ)2\cos(r\pi) une racine rationelle, alors 2cos⁡(rπ)∈Z2\cos(r\pi) \in \mathbb{Z}

Donc cos⁡(rπ)∈{−1,−1/2,0,1/2,1}\cos(r\pi) \in \{-1,-1/2,0,1/2,1\}
Il vient alors que
r∈13Z∪12Zr \in \frac{1}{3}\mathbb{Z} \cup \frac{1}{2}\mathbb{Z}

Réciproquement, cet ensemble convient bien.

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  1. · Uettechat

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quark67byFR

Dans le texte :

On définit par récurrence le polynôme PnP_{n} de degré nn suivant la relation:
Pn(X+1X)=Xn+1Xn\displaystyle P_{n}\left(X+\frac{1}{X}\right)=X^n+\frac{1}{X^n}

deux remarques :

  • Je ne vois pas de récurrence à ce stade (pas de lien entre PnP_{n} et Pn−1P_{n-1} par exemple) ;
  • L’emploi de l’article « le » (on définit le polynôme par...) laisse entendre qu’il est unique (et qu’il existe). Ce n’est pas établi à ce stade.

Peut-être que la toute première phrase devrait débuter par :

Supposons qu’il existe r=pq∈Qr=\frac{p}{q}\in\Q tel que cos⁡(rπ)∈Q\cos(r\pi)\in\Q.

Ensuite, je ne vois pas comment Pn+1P_{n+1} est construit... Un produit qui sort de nulle part est réalisé... Une reformulation de la rédaction permettrait d’y voir plus clair peut-être. Déjà en intervertissant les deux éléments dont on calcule le produit...

Peut-être faudrait-il procéder dans l’ordre suivant (car on établit la récurrence un peu plus loin) :
Supposons qu’il existe ∀n∈N\forall n\in\N un polynôme PnP_{n} vérifiant l’équation Pn(X+1X)=Xn+1Xn\displaystyle P_{n}\left(X+\frac{1}{X}\right)=X^n+\frac{1}{X^n}.
Posons P0=2P_{0}=2 et P1=XP_{1}=X. Ces deux polynômes vérifient l’équation précédente car P0(X+1X)=2=1+1=X0+1X0\displaystyle P_{0}\left(X+\frac{1}{X}\right)=2=1+1=X^{0}+\frac{1}{X^{0}} et P1(X+1X)=X+1X=X1+1X1\displaystyle P_{1}\left(X+\frac{1}{X}\right)=X+\frac{1}{X}=X^{1}+\frac{1}{X^{1}}.

Calculons le produit suivant : (X+1X)(Xn+1Xn)\displaystyle\left(X+\frac{1}{X}\right)\left(X^n+\frac{1}{X^n}\right).

On a :

(X+1X)(Xn+1Xn)=Xn+1+1Xn+1+Xn−1+1Xn−1  ⟺  (X+1X)Pn(X+1X)=Pn+1(X+1X)+Pn−1(X+1X)\displaystyle\left(X+\frac{1}{X}\right)\left(X^n+\frac{1}{X^n}\right)=X^{n+1}+\frac{1}{X^{n+1}}+X^{n-1}+\frac{1}{X^{n-1}}\iff \left(X+\frac{1}{X}\right)P_{n}\left(X+\frac{1}{X}\right)=P_{n+1}\left(X+\frac{1}{X}\right)+P_{n-1}\left(X+\frac{1}{X}\right)

Donc : XPn=Pn+1+Pn−1XP_{n}=P_{n+1}+P_{n-1}, et finalement :

Pn+1=XPn−Pn−1P_{n+1}=XP_{n}-P_{n-1}.

Nous avons établi une relation de récurrence permettant de construire le polynôme Pn+1P_{n+1} en connaissant les polynômes PnP_{n} et Pn−1P_{n-1}.

Cette rédaction est peut-être plus « scolaire », mais plus aisée à suivre sous cette forme il me semble. En tout cas pour moi. Peut-être que pour les autres lecteurs on peut brûler les étapes et parler de récurrence avant de l’avoir établie (il aurait fallut écrire par exemple « On va établir par récurrence un polynôme PnP_{n} vérifiant l’équation ... »). Il y a peut-être des points de rigueur à rajouter à ma proposition de reformulation.

Ce n’est que mon avis et peut-être qu’au niveau demandé pour la résolution du problème, on peut se permettre de se relâcher sur la rédaction.

UettechatbyFR

Bonsoir, je suis tout à fait d’accord avec votre point de vue, il est vrai que j’ai rédigé la preuve un peu "à la hâte". Je vais reformaliser cela quand j’en aurais le temps ! (dans la semaine avec un peu de chance :))