Valuation $p$-adique de $H_{{p-1}}$

On pose $\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}=S.$
Par l’astuce du petit Gauss, $2S=\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1}\frac{p}{k(p-k)}$ donc $2S/p=\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k(p-k)}$, rationnel dont $p$ ne divise pas le dénominateur réduit.

En calculant modulo $p$, $2S/p=\displaystyle - \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2}$ et comme $x\mapsto 1/x$ est une involution sur les carrés modulo $p$,
$$2S/p=\displaystyle - \sum_{k=1}^{p-1}{k^2}=-p(p-1)(2p-1)/6\mod p$$et comme $p>3$, il ne divise pas le dénominateur et $2S/p^2$ est un rationnel dont $p$ ne divise pas le dénominateur, cqfd.

Remarque : avec $p=3$, $S=3/2$ et $p^{2}$ ne divise pas $a$.