The $p$-adic valuation of $H_{p-1}$

on pose $S:=\sum_{k=1}^{p-1} 1/k$.
Toutes les sommes ci-dessous sont indexées sur $\{1;2;...;p-1\}$
On a$2S(p-1)!:=(p-1)!\sum [1/k+1/(p-k)]=p\sum\limits \frac{(p-1)!}{k(p-k)}=:pA (1)$
$A$ est un entier (car comme $p$ est impair, $k$ est distinct de $p-k$, donc ces deux entiers distincts strictement inférieurs à $p-1$, donc leur produit divise $(p-1)!$ et ainsi $A$ est une somme d’entiers) on a dans $\Z/p\Z$, $A=-\sum\limits (p-1)!/k^{2}$ et comme la fonction $x$ donne $1/x$ est une involution sur $\Z/p\Z^{*}$, les $1/k^2$ sont exactement les $k^{2}$ et $A=-(p-1)!\sum k^2$

Dans $\Z$, on a $\sum\limits k^{2}=\frac{(p-1)p(2p-1)}{6}$ et comme $p>3$, $6$ est inversible dans $\Z/p\Z$, on a dans $\Z/p\Z$, $A=0$ et donc dans $\Z$, $p|A$ donc $p^{2}|pA$ (2).

D’après (1) on a $2bpA=2Sb(p-1)!=2a(p-1)!$$ et d’après (2), $p^{2}|2a(p-1)!$
Comme $p$ est premier avec $2$ et $(p-1)!$ on en déduit que $p^{2}|a$.

On pose $\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}=S.$
Par l’astuce du petit Gauss, $2S=\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1}\frac{p}{k(p-k)}$ donc $2S/p=\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k(p-k)}$, rationnel dont $p$ ne divise pas le dénominateur réduit.

En calculant modulo $p$, $2S/p=\displaystyle - \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2}$ et comme $x\mapsto 1/x$ est une involution sur les carrés modulo $p$,
$$2S/p=\displaystyle - \sum_{k=1}^{p-1}{k^2}=-p(p-1)(2p-1)/6\mod p$$et comme $p>3$, il ne divise pas le dénominateur et $2S/p^2$ est un rationnel dont $p$ ne divise pas le dénominateur, cqfd.

Remarque : avec $p=3$, $S=3/2$ et $p^{2}$ ne divise pas $a$.