Variante de la formule d’Euler-Maclaurin

Si $f$ est continue et infiniment dérivable sur $[1;+\infty[$, monotone à partir d’un certain rang, et que
$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{|f(x)|}{2^{x}}\leq 1,$$alors montrez que :
$$\sum_{k=1}^{n} f(k)=\int_{1}^{n+1}f(t)\,\mathrm{d}t-\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{I_{j}}{j!} \cdot(\Delta^{j-1}f(n+1)-\Delta^{j-1}f(1))$$où
$$\displaystyle I_{j} = \int_{0}^{1} \prod_{k=0}^{j-1}\ (x-k)\, \mathrm{d}x$$et où
$$\displaystyle \Delta^{j-1}f(n+1) = \sum _{k=1}^{j}(-1)^{j-k} f(n+k)\frac{(j-1)!}{(k-1)!\cdot(j-k)!}$$

est la dérivée discrète d’ordre $j-1$ de $f$.