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Solution

Solution by FiniteField · FR

Les multiples de $p$ non nuls et inférieurs à $p^{2}-1$ sont $p,2p,\dots,(p-1)p$ ainsi $(p^{2}-1)!=p^{p-1}m$ avec $m$ premier avec $p.$
Le théorème de Wilson affirme que $n\in\mathbb{N}^{*}$ est premier si, et seulement si $(n-1)!\equiv -1\mod n.$ On va montrer le sens qui nous intéresse et s’en servir pour répondre à la question.
Méthode 1
Soit $p$ premier. Alors dans $\mathbb{F}_{p}^{\times}$ les seuls éléments qui sont leur propre inverse (dits involutifs) sont $-1$ et $1$ car l’équation $x^{2}=1$ est équivalente à $(x-1)(x+1)=0$ et $\mathbb{F}_{p}$ est intègre puisque c’est un corps. On en déduit que tous les autres éléments de $\mathbb{F}_{p}^{\times}$ ont un inverse distinct d’eux-même. Alors, dans $\mathbb{F}_{p}^{\times}$ ,
$(p-1)!=\prod_{k=1}^{p-1}k=\prod_{x\in\mathbb{F}_{p}^{\times}}x=1\times (-1)=-1\in\mathbb{F}_{p}^{\times}.$ Méthode 2
D’après le petit théorème de Fermat, $\forall 1\leq k\leq p-1, k^{p-1}=1\in\mathbb{F}_{p}$ . Ainsi le polynôme $X^{p-1}-1\in\mathbb{F}_{p}[X]$ possède $p-1$ racines distinctes et, étant de degré $p-1$ il est scindé à racines simples et se factorise en $\displaystyle X^{p-1}-1=\prod_{k=1}^{p-1}(X-k).$ En évaluant en $0$ on obtient donc
$-1=\prod_{k=1}^{p-1}(-k)=(-1)^{p-1}(p-1)!=(p-1)!$ On revient à notre problème initial. En écrivant les entiers $k\leq p^{2}-1$ sous la forme $k=qp+r$ avec $0\leq q\leq p-1$ et $1\leq r\leq p$ (ce n’est pas tout à fait la division euclidienne de
$k$ par $p$ ) on a :
$(p^{2}-1)!=\dfrac{1}{p^{2}}\prod_{q=0}^{p-1}\prod_{r=1}^{p}(qp+r)=\dfrac{1}{p^{2}}\prod_{q=0}^{p-1}(qp+p)\prod_{q=0}^{p-1}\prod_{r=1}^{p-1}(qp+r)=p^{p-1}(p-1)!\prod_{q=0}^{p-1}\prod_{r=1}^{p-1}(qp+r)$ (le $\dfrac{1}{p^{2}}$ permet de retirer le terme correspondant, puisque $p^{2}$ est compté en trop dans le produit). Puis, en réduisant modulo $p$ ,
$\dfrac{(p^{2}-1)!}{p^{p-1}}=(p-1)!((p-1)!)^{p}=(p-1)!^{p+1}\underbrace{=}_{\text{Wilson}}(-1)^{p+1}=1\in\mathbb{F}_{p}.$ On peut aussi conclure d’une autre manière en s’inspirant de la première méthode de la preuve du sens direct du théorème de Wilson :
Le produit $\dfrac{(p^{2}-1)!}{p^{p-1}}$ vu dans $\mathbb{Z}/p^{2}\mathbb{Z}$ est le produit des inversibles fois $(p-1)!$ (facteur correspondant au multiples de $p$ ). Or l’équation $\overline{x}^{2}=1$ a aussi pour solutions $-1$ et $1$ car si $p^{2}$ divise $(x-1)(x+1)$ alors soit $p^{2}\mid x-1$ , soit $p^{2}\mid x+1$ , soit $p\mid x-1$ et $p\mid x+1$ mais dans ce dernier cas $p\mid x-1-(x+1)=2$ ce qui est exclu car $p$ impair. Par le même argument on conclut alors que
$\dfrac{(p^{2}-1)!}{p^{p-1}}=-(p-1)!\mod p^{2}$ ce qui implique le résultat déjà trouvé en réduisant encore modulo $p.$