$(x_{n})$ converge $\iff (x_n+\lambda x_{n+1})$ converge ?

Sens direct : si la suite (x_n) converge alors ma suite (x_{n+1}) converge et toute combinaison linéaire de ces deux suites converge.

:::Réciproque.
On note $r:=1/|\lambda|$ et $\forall n, y_{n}:=x_{n}+\lambda x_{n+1}$. Par hypothèse, on a $0<r<1$.

:::1 er cas. On suppose que la suite $(y_{n})$ converge vers 0.

Soit $\epsilon>0$. Il existe alors $n_{0}$ tel que que soit $n\in \N$, $n\ge n_{0}$ implique $|y_{n}|\le \epsilon$. Par inégalité triangulaire, on a $\forall n, |x_{n+1}|\le r(|x_{n}|+|y_{n}|)$ d’où pour $n\ge n_{0}, |x_{n+1}|\le r(\epsilon+|x_n|)$. Soit $A$ défini par l’égalité $A=r(A+\epsilon)$. On a alors, $\forall n\ge n_{0},|x_{n+1}|-A \le r(|x_{n}|-A)$ d’où par récurrence immédiate, $\forall n\ge n_{0}, |x_{n}| \le A+ r^{n-n_{0}}(|x_{n_{0}}|-A)$ avec $A=\frac{r}{1-r}\epsilon$ et donc, comme $r<1$ pour $n$ assez grand, $|x_{n}|\le (\frac{r}{1-r}+1)\epsilon$ et donc la suite $(x_{n})$ converge vers 0.

:::cas général. La suite (y_n) converge et on note $L$ sa limite. Soit $A$ tel que $L=A+\lambda A$ (cette équation du premier degré en $A$ détermine bien $A$ car $\lambda$ est différent de $-1$), alors en posant $\forall n, y'_{n}:=y_{n}-L$, et $x'_n:=x_n-A$, alors la suite $(y'_n)$ converge vers $0$ et $\forall n, y_{n}^{'}=x_n^{'}+\lambda x_{n+1}^{'}$ et d’après le 1er cas, la suite $(x'_{n})$ converge, donc la suite $(x_{n})$ converge. Ceci achève la preuve.