$(x_{n})$ converge $\iff (x_n+\lambda x_{n+1})$ converge ?

Le sens direct ne pose pas de problème.

Réciproque. On suppose connu le théorème du point fixe de Picard.

Soit $E$ l’espace vectoriel complexe normé des suites numériques à valeurs complexes convergentes muni de la norme infinie. Rappel : $E$ muni de cette norme, qu’on note N, est un espace vectoriel normé complet ie un espace de Banach.

On pose $r:=1/|\lambda|$ et donc par hypothèse $r<1$. Soit $(y_n)$ une suite convergente qui vérifie $\forall n, y_{n}=x_{n}+\lambda x_{n+1}$. Soit $T$ l’application définie sur $E$ par $\forall n\ge 1, T(u)_{n}:=\frac{1}{\lambda}(y_{n-1}-u_{n-1})$ et $T(u)_{0}=x_{0}$. Comme les suites $y$ et $u$ sont convergentes, on en deduit que la suite $T(u)$ est convergente et donc $T$ est à valeurs dans E. Par inégalité triangulaire, on a $\forall u, v\in E, N(T(u)-T(v))\le rN(u-v)$ donc $T$ est contractante sur l’espace de Banach $E$. Par le théorème de point fixe de Picard, il existe un unique point fixe $v$ qui vérifie $T(v)=v$. Comme $v$ vérifie la même récurrence que la suite $v$ et que $v_{0}=x_0$ la suite $v$ est égale à $x$ et comme $v\in E$ on a $x\in E$ donc en particulier la suite $x$ converge. On vient de prouver la réciproque.

Si $(x_n)$ converge vers $\ell$ alors $(x_{n+1})$, étant extraite de $(x_n)$, converge aussi vers $\ell$ si bien que, par linéarité de la limite $x_n+\lambda x_{n+1}\longrightarrow (1+\lambda)\ell.$

Réciproquement, supposons que $v_n:=x_n+\lambda x_{n+1}$ converge vers une limite $\ell'\in\mathbb{C}.$ On va s’inspirer de nos connaissances sur les équations différentielles linéaires d’ordre $1$ pour exprimer $x_n$ en fonction de $v_n$ pour $n\in\mathbb{N}.$ On considère l’équation $(E)\colon u_n+\lambda u_{n+1}=v_n$ d’inconnue $u.$ Les solutions de l’équation homogène $(E_h)\colon u_n^h+\lambda u_{n+1}^h=0$ vérifient $u_{n+1}=\dfrac{-1}{\lambda}u_n$, i.e. $(u_n^h)$ géométrique de raison $q=\dfrac{-1}{\lambda}.$ Elles sont donc de la forme $u_n=cq^n$ pour un certain $c\in\mathbb{C}.$ On fait une variation de la constante pour déterminer une solution particulière $u$ de notre équation en la cherchant sous la forme $\forall n\in\mathbb{N}, u_n=c_n q^n.$ On a
$$u_n+\lambda u_{n+1}=c_nq^n+\dfrac{-1}{q}q^{n+1}c_{n+1}=(c_{n+1}-c_n)(-q^n)=v_n\text{ i.e. }c_{n+1}-c_n=-\dfrac{v_n}{q^n}.$$Ainsi, en sommant et par télescopage, on obtient $c_n=c_0+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{-v_k}{q^k}$. On choisit $c_0=0$ car on cherche une seule solution particulière qui est alors $u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}q^{n-k}v_k.$ Puisque $(x_n)$ est solution de $(E)$ alors il existe $c\in\mathbb{C}$ tel que $\forall n\in\mathbb{N},$
$$x_n=cq^n-\sum_{k=0}^{n-1}q^{n-k}v_k.$$Soit $\varepsilon>0$ et $k_0$ tel que $\forall k\geq k_0,\left|v_k-\ell'\right|\leq \varepsilon.$ On a
$$x_n=cq^n-\sum_{k=0}^{n-1}q^{n-k}(v_k-\ell'+\ell')=cq^n-\sum_{k=0}^{n-1}q^{n-k}\ell'-\sum_{k=0}^{k_0-1}q^{n-k}(v_k-\ell')-\sum_{k=k_0}^{n-1}q^{n-k}(v_k-\ell')$$donc
$$x_{n}=cq^n-\ell'q\dfrac{1-q^n}{1-q}-q^{n-k_0}\sum_{k=0}^{k_0-1}q^{k_0-k}(v_k-\ell')-\sum_{k=k_0}^{n-1}q^{n-k}(v_k-\ell')$$

Or on a
$$\displaystyle\left|\sum_{k=k_0}^{n-1}q^{n-k}(v_k-\ell')\right|\leq \varepsilon \sum_{k=0}^{n-1}|q|^{n-k}= \varepsilon \sum_{k=1}^{n}|q|^{k}\leq \varepsilon \sum_{k=1}^{+\infty}|q|^{k}=\dfrac{|q|\varepsilon}{1-|q|}.$$Donc, en passant à la limite
$x_n\longrightarrow \dfrac{1}{\lambda}\dfrac{\ell'}{1+\frac{1}{\lambda}}=\dfrac{\ell'}{1+\lambda}.$
```

Sens direct : si la suite (x_n) converge alors ma suite (x_{n+1}) converge et toute combinaison linéaire de ces deux suites converge.

:::Réciproque.
On note $r:=1/|\lambda|$ et $\forall n, y_{n}:=x_{n}+\lambda x_{n+1}$. Par hypothèse, on a $0<r<1$.

:::1 er cas. On suppose que la suite $(y_{n})$ converge vers 0.

Soit $\epsilon>0$. Il existe alors $n_{0}$ tel que que soit $n\in \N$, $n\ge n_{0}$ implique $|y_{n}|\le \epsilon$. Par inégalité triangulaire, on a $\forall n, |x_{n+1}|\le r(|x_{n}|+|y_{n}|)$ d’où pour $n\ge n_{0}, |x_{n+1}|\le r(\epsilon+|x_n|)$. Soit $A$ défini par l’égalité $A=r(A+\epsilon)$. On a alors, $\forall n\ge n_{0},|x_{n+1}|-A \le r(|x_{n}|-A)$ d’où par récurrence immédiate, $\forall n\ge n_{0}, |x_{n}| \le A+ r^{n-n_{0}}(|x_{n_{0}}|-A)$ avec $A=\frac{r}{1-r}\epsilon$ et donc, comme $r<1$ pour $n$ assez grand, $|x_{n}|\le (\frac{r}{1-r}+1)\epsilon$ et donc la suite $(x_{n})$ converge vers 0.

:::cas général. La suite (y_n) converge et on note $L$ sa limite. Soit $A$ tel que $L=A+\lambda A$ (cette équation du premier degré en $A$ détermine bien $A$ car $\lambda$ est différent de $-1$), alors en posant $\forall n, y'_{n}:=y_{n}-L$, et $x'_n:=x_n-A$, alors la suite $(y'_n)$ converge vers $0$ et $\forall n, y_{n}^{'}=x_n^{'}+\lambda x_{n+1}^{'}$ et d’après le 1er cas, la suite $(x'_{n})$ converge, donc la suite $(x_{n})$ converge. Ceci achève la preuve.