$(x_{n})$ converge $\Leftrightarrow x_n+\lambda x_{n+1}$ converge ?

Si $(x_n)$ converge vers $\ell$ alors $(x_{n+1})$, étant extraite de $(x_n)$, converge aussi vers $\ell$ si bien que, par linéarité de la limite $x_n+\lambda x_{n+1}\longrightarrow (1+\lambda)\ell.$

Réciproquement, supposons que $v_n:=x_n+\lambda x_{n+1}$ converge vers une limite $\ell'\in\mathbb{C}.$ On va s’inspirer de nos connaissances sur les équations différentielles linéaires d’ordre $1$ pour exprimer $x_n$ en fonction de $v_n$ pour $n\in\mathbb{N}.$ On considère l’équation $(E)\colon u_n+\lambda u_{n+1}=v_n$ d’inconnue $u.$ Les solutions de l’équation homogène $(E_h)\colon u_n^h+\lambda u_{n+1}^h=0$ vérifient $u_{n+1}=\dfrac{-1}{\lambda}u_n$, i.e. $(u_n^h)$ géométrique de raison $q=\dfrac{-1}{\lambda}.$ Elles sont donc de la forme $u_n=cq^n$ pour un certain $c\in\mathbb{C}.$ On fait une variation de la constante pour déterminer une solution particulière $u$ de notre équation en la cherchant sous la forme $\forall n\in\mathbb{N}, u_n=c_n q^n.$ On a
$$u_n+\lambda u_{n+1}=c_nq^n+\dfrac{-1}{q}q^{n+1}c_{n+1}=(c_{n+1}-c_n)(-q^n)=v_n\text{ i.e. }c_{n+1}-c_n=-\dfrac{v_n}{q^n}.$$Ainsi, en sommant et par télescopage, on obtient $c_n=c_0+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{-v_k}{q^k}$. On choisit $c_0=0$ car on cherche une seule solution particulière qui est alors $u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}q^{n-k}v_k.$ Puisque $(x_n)$ est solution de $(E)$ alors il existe $c\in\mathbb{C}$ tel que $\forall n\in\mathbb{N},$
$$x_n=cq^n-\sum_{k=0}^{n-1}q^{n-k}v_k.$$Soit $\varepsilon>0$ et $k_0$ tel que $\forall k\geq k_0,\left|v_k-\ell'\right|\leq \varepsilon.$ On a
$$x_n=cq^n-\sum_{k=0}^{n-1}q^{n-k}(v_k-\ell'+\ell')=cq^n-\sum_{k=0}^{n-1}q^{n-k}\ell'-\sum_{k=0}^{k_0-1}q^{n-k}(v_k-\ell')-\sum_{k=k_0}^{n-1}q^{n-k}(v_k-\ell')$$donc
$$x_{n}=cq^n-\ell'q\dfrac{1-q^n}{1-q}-q^{n-k_0}\sum_{k=0}^{k_0-1}q^{k_0-k}(v_k-\ell')-\sum_{k=k_0}^{n-1}q^{n-k}(v_k-\ell')$$

Or on a
$$\displaystyle\left|\sum_{k=k_0}^{n-1}q^{n-k}(v_k-\ell')\right|\leq \varepsilon \sum_{k=0}^{n-1}|q|^{n-k}= \varepsilon \sum_{k=1}^{n}|q|^{k}\leq \varepsilon \sum_{k=1}^{+\infty}|q|^{k}=\dfrac{|q|\varepsilon}{1-|q|}.$$Donc, en passant à la limite
$x_n\longrightarrow \dfrac{1}{\lambda}\dfrac{\ell'}{1+\frac{1}{\lambda}}=\dfrac{\ell'}{1+\lambda}.$
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