Ivan Shishkin, Rye (1878)

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(xn)(x_{n}) converge   ⟺  (xn+λxn+1)\iff (x_n+\lambda x_{n+1}) converge ?

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Si (xn)(x_n) converge vers ℓ\ell alors (xn+1)(x_{n+1}), étant extraite de (xn)(x_n), converge aussi vers ℓ\ell si bien que, par linéarité de la limite xn+λxn+1⟶(1+λ)ℓ.x_n+\lambda x_{n+1}\longrightarrow (1+\lambda)\ell.

Réciproquement, supposons que vn:=xn+λxn+1v_n:=x_n+\lambda x_{n+1} converge vers une limite ℓ′∈C.\ell'\in\mathbb{C}. On va s’inspirer de nos connaissances sur les équations différentielles linéaires d’ordre 11 pour exprimer xnx_n en fonction de vnv_n pour n∈N.n\in\mathbb{N}. On considère l’équation (E) ⁣:un+λun+1=vn(E)\colon u_n+\lambda u_{n+1}=v_n d’inconnue u.u. Les solutions de l’équation homogène (Eh) ⁣:unh+λun+1h=0(E_h)\colon u_n^h+\lambda u_{n+1}^h=0 vérifient un+1=−1λunu_{n+1}=\dfrac{-1}{\lambda}u_n, i.e. (unh)(u_n^h) géométrique de raison q=−1λ.q=\dfrac{-1}{\lambda}. Elles sont donc de la forme un=cqnu_n=cq^n pour un certain c∈C.c\in\mathbb{C}. On fait une variation de la constante pour déterminer une solution particulière uu de notre équation en la cherchant sous la forme ∀n∈N,un=cnqn.\forall n\in\mathbb{N}, u_n=c_n q^n. On a
un+λun+1=cnqn+−1qqn+1cn+1=(cn+1−cn)(−qn)=vn i.e. cn+1−cn=−vnqn.u_n+\lambda u_{n+1}=c_nq^n+\dfrac{-1}{q}q^{n+1}c_{n+1}=(c_{n+1}-c_n)(-q^n)=v_n\text{ i.e. }c_{n+1}-c_n=-\dfrac{v_n}{q^n}.Ainsi, en sommant et par télescopage, on obtient cn=c0+∑k=0n−1−vkqkc_n=c_0+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{-v_k}{q^k}. On choisit c0=0c_0=0 car on cherche une seule solution particulière qui est alors un=∑k=0n−1qn−kvk.u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}q^{n-k}v_k. Puisque (xn)(x_n) est solution de (E)(E) alors il existe c∈Cc\in\mathbb{C} tel que ∀n∈N,\forall n\in\mathbb{N},
xn=cqn−∑k=0n−1qn−kvk.x_n=cq^n-\sum_{k=0}^{n-1}q^{n-k}v_k.Soit ε>0\varepsilon>0 et k0k_0 tel que ∀k≥k0,∣vk−ℓ′∣≤ε.\forall k\geq k_0,\left|v_k-\ell'\right|\leq \varepsilon. On a
xn=cqn−∑k=0n−1qn−k(vk−ℓ′+ℓ′)=cqn−∑k=0n−1qn−kℓ′−∑k=0k0−1qn−k(vk−ℓ′)−∑k=k0n−1qn−k(vk−ℓ′)x_n=cq^n-\sum_{k=0}^{n-1}q^{n-k}(v_k-\ell'+\ell')=cq^n-\sum_{k=0}^{n-1}q^{n-k}\ell'-\sum_{k=0}^{k_0-1}q^{n-k}(v_k-\ell')-\sum_{k=k_0}^{n-1}q^{n-k}(v_k-\ell')donc
xn=cqn−ℓ′q1−qn1−q−qn−k0∑k=0k0−1qk0−k(vk−ℓ′)−∑k=k0n−1qn−k(vk−ℓ′)x_{n}=cq^n-\ell'q\dfrac{1-q^n}{1-q}-q^{n-k_0}\sum_{k=0}^{k_0-1}q^{k_0-k}(v_k-\ell')-\sum_{k=k_0}^{n-1}q^{n-k}(v_k-\ell')

Or on a
∣∑k=k0n−1qn−k(vk−ℓ′)∣≤ε∑k=0n−1∣q∣n−k=ε∑k=1n∣q∣k≤ε∑k=1+∞∣q∣k=∣q∣ε1−∣q∣.\displaystyle\left|\sum_{k=k_0}^{n-1}q^{n-k}(v_k-\ell')\right|\leq \varepsilon \sum_{k=0}^{n-1}|q|^{n-k}= \varepsilon \sum_{k=1}^{n}|q|^{k}\leq \varepsilon \sum_{k=1}^{+\infty}|q|^{k}=\dfrac{|q|\varepsilon}{1-|q|}.Donc, en passant à la limite
xn⟶1λℓ′1+1λ=ℓ′1+λ.x_n\longrightarrow \dfrac{1}{\lambda}\dfrac{\ell'}{1+\frac{1}{\lambda}}=\dfrac{\ell'}{1+\lambda}.
```

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