$(x_{n})$ converge $\iff (x_n+\lambda x_{n+1})$ converge ?

Le sens direct ne pose pas de problème.

Réciproque. On suppose connu le théorème du point fixe de Picard.

Soit $E$ l’espace vectoriel complexe normé des suites numériques à valeurs complexes convergentes muni de la norme infinie. Rappel : $E$ muni de cette norme, qu’on note N, est un espace vectoriel normé complet ie un espace de Banach.

On pose $r:=1/|\lambda|$ et donc par hypothèse $r<1$. Soit $(y_n)$ une suite convergente qui vérifie $\forall n, y_{n}=x_{n}+\lambda x_{n+1}$. Soit $T$ l’application définie sur $E$ par $\forall n\ge 1, T(u)_{n}:=\frac{1}{\lambda}(y_{n-1}-u_{n-1})$ et $T(u)_{0}=x_{0}$. Comme les suites $y$ et $u$ sont convergentes, on en deduit que la suite $T(u)$ est convergente et donc $T$ est à valeurs dans E. Par inégalité triangulaire, on a $\forall u, v\in E, N(T(u)-T(v))\le rN(u-v)$ donc $T$ est contractante sur l’espace de Banach $E$. Par le théorème de point fixe de Picard, il existe un unique point fixe $v$ qui vérifie $T(v)=v$. Comme $v$ vérifie la même récurrence que la suite $v$ et que $v_{0}=x_0$ la suite $v$ est égale à $x$ et comme $v\in E$ on a $x\in E$ donc en particulier la suite $x$ converge. On vient de prouver la réciproque.