Corps de décomposition

Définition intuitive

Un polynôme n’a pas toujours toutes ses racines dans le corps où on l’écrit : $X^{2}+1$ n’en a aucune sur $\mathbb{R}$, $X^{3}-2$ n’en a qu’une sur $\mathbb{Q}$. L’idée du corps de décomposition est de fabriquer sur mesure la plus petite extension où le polynôme se casse complètement en facteurs de degré $1$, où il est scindé.

Définition formelle

Soient $K$ un corps et $P\in K[X]$ non constant. Une extension $L/K$ est un corps de décomposition de $P$ sur $K$ si
$$P \text{ est scindé sur } L,\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad P=c\prod_{i=1}^{n}(X-\alpha_i)\ \text{ avec } \alpha_i\in L,$$et si $L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ est engendré sur $K$ par ces racines. La seconde condition traduit la minimalité : aucun sous-corps strict de $L$ contenant $K$ ne convient.

Théorème (existence). Tout polynôme non constant $P\in K[X]$ admet un corps de décomposition sur $K$, et $[L:K]\leqslant(\deg P)!$.

Preuve. Par récurrence sur $\deg P$. Si $P$ est scindé, prendre $L=K$. Sinon, soit $Q$ un facteur irréductible de $P$ de degré $\geqslant 2$ ; le corps $K_1=K[X]/(Q)$ est une extension de degré $\deg Q$ dans laquelle $P$ admet une racine $\alpha$. On applique l’hypothèse de récurrence à $P/(X-\alpha)$ sur $K_1$. La borne s’obtient en multipliant les degrés successifs, majorés par $\deg P,\deg P-1,\dots$ $\square$

Théorème (unicité). Deux corps de décomposition de $P$ sur $K$ sont $K$-isomorphes. Plus généralement, si $\sigma:K\to K'$ est un isomorphisme de corps et $L$, $L'$ des corps de décomposition de $P$ et $\sigma(P)$, alors $\sigma$ se prolonge en un isomorphisme $L\to L'$.

C’est cette forme relative, plus forte, qui permet la récurrence : on prolonge $\sigma$ racine par racine, chaque prolongement correspondant au choix d’une racine de l’image d’un facteur irréductible.

Remarques

• L’article défini est un abus toléré. L’isomorphisme de l’énoncé d’unicité n’est en général pas unique. On dit néanmoins « le » corps de décomposition, l’unicité à isomorphisme près suffisant en pratique.
• Ne pas confondre avec le corps de rupture. Pour $P$ irréductible, le corps de rupture $K[X]/(P)$ est engendré par une seule racine et de degré $\deg P$. Le corps de décomposition les contient toutes et peut être bien plus grand : pour $P=X^{3}-2$ sur $\mathbb{Q}$, le corps de rupture $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ est de degré $3$, tandis que le corps de décomposition $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,j)$ est de degré $6$. Ils coïncident si et seulement si le corps de rupture est déjà normal.
• Ne pas confondre avec la clôture algébrique. Celle-ci scinde tous les polynômes à la fois ; elle est de degré infini dès que $K$ n’est pas algébriquement clos, et son existence requiert l’axiome du choix. Un corps de décomposition est toujours de degré fini.
• Contre-exemple à une intuition. Le corps de décomposition dépend du corps de base, pas seulement du polynôme : $X^{2}+1$ a pour corps de décomposition $\mathbb{C}$ sur $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}(\mathrm{i})$ sur $\mathbb{Q}$, et $\mathbb{F}_p$ lui-même sur $\mathbb{F}_p$ dès que $p\equiv 1\pmod 4$.

Exemples

1. $X^{2}+1$ sur $\mathbb{R}$ : le corps de décomposition est $\mathbb{C}=\mathbb{R}(\mathrm{i})$, de degré $2$.
2. $X^{2}-2$ sur $\mathbb{Q}$ : c’est $\mathbb{Q}(\sqrt2)$, de degré $2$. Ici les deux racines $\pm\sqrt2$ engendrent le même corps, d’où l’égalité entre corps de rupture et de décomposition.
3. $X^{3}-2$ sur $\mathbb{Q}$ : le corps est $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,j)$, de degré $6$
4. Corps finis. Le corps de décomposition de $X^{q}-X$ sur $\mathbb{F}_p$, avec $q=p^{n}$, est exactement $\mathbb{F}_q$, c’est la construction canonique des corps finis, et elle prouve du même coup leur unicité à isomorphisme près.