Déterminant d’un endomorphisme d’un espace euclidien

Intuition

Le déterminant d’un endomorphisme mesure le facteur par lequel celui-ci multiplie les aires (en dimension 2), les volumes (en dimension 3)... et plus généralement la mesure. Sa valeur absolue quantifie la dilatation ou la contraction, tandis que son signe indique si l’orientation de l’espace est conservée ou inversée. Un déterminant nul signifie que la transformation écrase l’espace dans un sous-espace de dimension inférieure.

Définition géométrique

Le déterminant d’un endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^{n}$ est la mesure de Lebesgue de l'hypercube unité transformé par $f$, multiplié par $\pm 1$ selon si $f$ est un endomorphisme direct ou indirect :

$$\operatorname{det}(f)= \begin{cases}\lambda^n\left(f\left([0,1]^n\right)\right) & \text { si } f \text { est direct }, \\ -\lambda^n\left(f\left([0,1]^n\right)\right) & \text { si } f \text { est indirect }, \\ 0 & \text { si } f \text { n'est pas inversible. }\end{cases}$$