Ellipse

Définition géométrique

Soient deux points du plan $F_{1}$ et $F_{2}$ , et un nombre réel $2a$ plus grand que la distance $F_{1}F_{2}$ , l’ellipse de foyers $F_{1},F_{2}$ et de grand axe $2a$ est l’ensemble de points $P$ du plan tels que :
$PF_{1}+PF_{2}=2a.$

Explication

Cette définition est appelée « la méthode du jardinier » : on plante deux piquets en $F_{1}$ et $F_{2}$ , on attache les deux bouts d’une corde autour d’eux et trace la courbe qui maintient la corde tendue : cela produit une ellipse. Cette construction généralise celle valable pour le cercle^EN, où un seul poteau et une corde tendue d’une longueur fixée donnent l’ensemble de points à une distance constante d’un seul centre.

Définition par équation cartésienne

Une ellipse est l’ensemble de points $M:=(x,y)\in\R^2$ satisfaisant l’équation
$\left(\frac{x-x_{0}}{a}\right)^{2} + \left(\frac{y-y_{0}}{b}\right)^{2} = 1,$ où $a,b$ sont des nombres réels strictement positifs, appelés respectivement « demi-gran axe » et « demi-petit axe ». De plus, $(x_0,y_0)$ est le centre de l’ellipse.

Exemples

Soit $C$ le (double) cône de $\R^3$ avec un sommet en $0$ , obtenu par rotation de la ligne générée par $(1,0,1)$ autour de l’axe $z$ . Une section plane du cône est une ellipse, quand le plan ne pas par $0$ et a un angle inférieur à $\frac{\pi}{4}$ par rapport au plan horizontal.

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Parmi les équations suivantes, lesquelles définissent une ellipse ?
1. $x^{2}+2y^{2}=-1$
2. $x^2+y^2=2$
3. $4x^{2}+9y^{2}=36$
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Le théorème de Marden

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