Espace séparable

Intuition

Un espace est séparable s’il contient une partie dénombrable dont les points permettent d’approcher tous les points de l’espace.
Par exemple, $\R$ est séparable car tout réel peut être approché arbitrairement près par des rationnels.

Cette propriété est pratique, car il est souvent plus commode d’étudier les ensembles dénombrables. Par exemple, une fonction continue $f:\R \to \R$ est entièrement déterminée par ses valeurs sur $\Q$.

Définition formelle

Un espace topologique $(X,\tau)$ est dit séparable s’il admet une partie dénombrable dense $D\subset X$.