Foncteur

Intuition

Un foncteur est une application entre des catégories qui envoie objets sur objets et morphismes sur morphismes, tout en respectant les identités et la composition.

Définition formelle

Un foncteur entre des catégories $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ est une application qui :

• à tout objet $X$, associe un objet $F(X)$ ;
• à tous objets $X$ et $Y$ et tout morphisme $f\colon X \to Y$, associe un morphisme
  $$F(f)\colon F(X) \to F(Y)$$dans $\mathcal{D}$ tel que :
  $$F(\operatorname{id}_X) =\operatorname{ id}_{F(X)} \quad\text{et}\quad F(g \circ f) = F(g) \circ F(f).$$