Formule orbite-stabilisateur

Énoncé

Soit $G$ un groupe agissant sur un ensemble $X$ et soit $x \in X$. L’application $g \mapsto g \cdot x$ induit une bijection
$$G / G_x \xrightarrow{\ \sim\ } G \cdot x, \qquad g G_x \mapsto g \cdot x,$$compatible avec l’action de $G$ (translation à gauche sur $G/G_x$).

Si $G$ est fini, on en déduit
$$|G \cdot x| = [G : G_x] = \frac{|G|}{|G_x|}, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad |G| = |G \cdot x| \cdot |G_x| .$$En particulier le cardinal d’une orbite divise $|G|$. Si de plus $X$ est fini, en choisissant un représentant $x_\omega$ dans chaque orbite $\omega$,
$$|X| = \sum_{\omega \in X/G} [G : G_{x_\omega}] \qquad \text{(formule des classes).}$$

Démonstration

L’application $\varphi : G \to G \cdot x$, $g \mapsto g \cdot x$, est surjective par définition de l’orbite. On a $\varphi(g) = \varphi(h)$ si et seulement si $h^{-1} g \cdot x = x$, c’est-à-dire $h^{-1} g \in G_x$, c’est-à-dire $g G_x = h G_x$. Donc $\varphi$ passe au quotient en une bijection $G/G_x \to G \cdot x$. Les fibres de $\varphi$ sont les classes à gauche de $G_x$, toutes de cardinal $|G_x|$, et il y en a $|G \cdot x|$ ; d’où $|G| = |G \cdot x| \cdot |G_x|$. La formule des classes s’obtient en sommant sur la partition de $X$ en orbites.

Exemples

1. Théorème de Lagrange. $G$ agit transitivement sur $G/H$ par translation et le stabilisateur de la classe $H$ est $H$ ; donc $|G| = [G:H] \cdot |H|$.
2. $|\mathfrak{S}_n| = n!$. L’action de $\mathfrak{S}_n$ sur $\{1, \ldots, n\}$ est transitive et $\operatorname{Stab}(n) \simeq \mathfrak{S}_{n-1}$, donc $|\mathfrak{S}_n| = n \cdot |\mathfrak{S}_{n-1}|$.
3. Coefficients binomiaux. $\mathfrak{S}_n$ agit transitivement sur les parties à $m$ éléments, avec $\operatorname{Stab}(\{1, \ldots, m\}) \simeq \mathfrak{S}_m \times \mathfrak{S}_{n-m}$ : il y en a $\dfrac{n!}{m!\,(n-m)!}$. De même, le nombre de partitions ordonnées de type $(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$ est le coefficient multinomial $\dfrac{n!}{\lambda_1! \cdots \lambda_k!}$.
4. Ordre de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$. L’action sur les vecteurs non nuls est transitive ($q^n - 1$ vecteurs) et $\operatorname{Stab}(e_1)$ a $q^{n-1} \, |\mathrm{GL}_{n-1}(\mathbb{F}_q)|$ éléments, d’où
   $$|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)| = (q^n - 1)\, q^{n-1}\, |\mathrm{GL}_{n-1}(\mathbb{F}_q)| = \prod_{k=0}^{n-1} (q^n - q^k).$$Le nombre de droites de $\mathbb{F}_q^n$ est $\dfrac{q^n - 1}{q - 1}$.
5. Formule $|HK|$. Pour deux sous-groupes finis $H, K$ de $G$, le groupe $H \times K$ agit sur $G$ par $(h, k) \cdot g = h g k^{-1}$ ; l’orbite de $e$ est $HK$ et son stabilisateur est $\{(h, h) \mid h \in H \cap K\}$, d’où $|HK| = \dfrac{|H| \cdot |K|}{|H \cap K|}$.
6. Rotations du cube. Le groupe des rotations du cube agit transitivement sur les $6$ faces et le stabilisateur d’une face est formé de $4$ rotations : il a $24$ éléments.
7. Nombre de conjugués d’un sous-groupe. $|\{ g H g^{-1} \mid g \in G \}| = [G : N_G(H)]$.

Remarques

• La formule s’utilise dans les deux sens : calculer la taille d’une orbite à partir du stabilisateur, ou compter des objets ($|X| = |G| / |G_x|$ si l’action est transitive).
• Classification des actions transitives. Tout $G$-ensemble transitif est isomorphe à un $G/H$, et $G/H \simeq G/H'$ (comme $G$-ensembles) si et seulement si $H$ et $H'$ sont conjugués.