Groupe de Lie

Intuition

Un groupe de Lie est un objet mathématique qui possède à la fois une structure de groupe et une structure de variété lisse. C’est le cas par exemple du cercle $S^{1}$, muni de la multiplication complexe.

Ces deux structures sont compatibles, ce qui permet d’étudier les opérations du groupe à l’aide des outils du calcul différentiel.

Définition formelle

Un groupe de Lie est un groupe $(G,\cdot)$ muni d’une structure de variété lisse, tel que les applications de multiplication :
$$m : G \times G \to G,\qquad (g,h) \mapsto g\cdot h$$et d’inversion :
$$i : G \to G,\qquad g \mapsto g^{-1}$$soient lisses.