Identité de polarisation

Définition formelle

• Cas du corps des réels
  Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire symétrique défini sur $E\times E$ telle que l’on définit l’application $\varphi$ par $f(x,x)=\varphi(x)$ .
  On appele alors identité de polarisation, l’une des identités suivantes :

1. $\forall x,y \in E, \, f(x,y) = \frac{1}{2} \big( \, \varphi(x+y) - \varphi(x) -\varphi(y) \,\big)$,
2. $\forall x,y \in E, \, f(x,y) = \frac{1}{2} \big( \, \varphi(x) + \varphi(y) -\varphi(x-y) \,\big)$,
3. $\forall x,y \in E, \, f(x,y) = \frac{1}{4} \big( \, \varphi(x+y) - \varphi(x-y) \,\big)$.

Exemples

• Le produit scalaire étant une forme bilinéaire symétrique, il vérifie les identités de polarisation. De plus, on connait $\varphi$ puisqu’il s’agit en faite du carré de la norme induite par le produit scalaire. Ainsi, on a par exemple la première identité de polarisation qui s’écrit :
  $$\forall x,y \in E, \, \langle x,y\rangle = \frac12\bigl(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\bigr).$$