Invariance par homéomorphisme du groupe fondamental

Intuition

Un homéomorphisme établit une correspondance entre les points de deux espaces, en respectant leur structure topologique. Il transforme donc les lacets de l’un en lacets de l’autre, et préserve les homotopies entre eux. Le groupe fondamental des deux espaces est donc le même.

Enoncé

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, $x_{0}\in X$, et $f:X \rightarrow Y$ un homéomorphisme.
Alors, l’application induite :
$$f_{*}:\pi_{1}(X,x_{0})\rightarrow \pi_{1}(Y,f(x_{0}))$$est un isomorphisme de groupes.

Remarque

• C’est pour cette raison que le groupe fondamental est un invariant topologique.