Lemme de Yoneda

Enoncé

Soit $\mathcal{C}$ une catégorie localement petite et $X$ un objet de $\mathcal{C}$. Pour tout foncteur covariant $F : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$, il existe une bijection naturelle :

$$F(X) \cong \operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,-), F).$$

Remarques :

Le membre de droite est précisément l’ensemble des éléments généralisés de $F$ de type $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,-)$.

Le lemme de Yoneda affirme donc que les éléments généralisés de ce type correspondent exactement aux éléments ordinaires de $F(X)$.