Matrice symétrique positive

Définition formelle

Sotit $A \in S_{n}(\mathbb{R})$ alors est une matrice symétrique positive si $\forall x \in \mathbb{R}^{n}, \,x^{t}Ax \geq 0$.

$A$ est une matrice symétrique définie positive si $\forall x \in \mathbb{R}^{n}\setminus \{ 0\},\, x^{t}Ax > 0$.

Notation:

• L’ensemble des matrices symétriques positives est noté $S_{n}^{+}(\mathbb{R})$.
• L’ensemble des matrices symétriques définies positives est noté $S_{n}^{++}(\mathbb{R})$.

Remarques

• Grâce au théorème spectral^EN, dire qu’une matrice symétrique $A$ est positive (resp. définie positive) est équivalent à dire que toutes ses valeurs propres sont positives (resp. strictelement positive.)